1樓：
1、放縮bai法定義：
為放寬du或縮小不等式的範圍的
zhi方法dao。
2、常用方法
a.常用在多項式中回
「舍掉答一些正（負）項」而使不等式各項之和變小（大）b.「在分式中放大或縮小分式的分子分母」，c.「在乘積式中用較大（較小）因式代替」等效法，而達到其證題目的。
2樓：晴天雨絲絲
||關於縮放抄技巧，以下舉兩例吧!
bai(1)
已知a、b∈dur，求證
|zhia+b|/(1+|a|+|b|)≤|a|/(1+|a|)+|b|/(1+|b|).
因為0≤|a+b|≤dao|a|+|b|，所以|a+b|/(1+|a+b|)
=1-1/(1+|a+b|)
≤1-1/(1+|a|+|b|)
=(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)=|a|/(1+|a|+|b|)+|b|/(1+|a|+|b|)≤|a|/(1+|a|)+|b|/(1+|b|).
故不等式得證.
(2)證明1+1/√2+1/√3+...+1/√n<2√n.
∵√k-√(k-1)
=1/[√k+√(k-1)]
>1/(√k+√k)
=1/(2√k)，
即1/√k<2[√k-√(k-1)] (k=1,2,...,n)於是，1<2(√1-√0)，
1/√2<2(√2-√1)，
……1/√n<2[√n-√(n-1)]
以上n個同向不等式相加，得
1+1/√2+1/√3+...+1/√n<2√n。
不等式證明都有哪幾種方法
3樓：琳述
比較法比較法是證明不等式的最基本方法，具體有"作差"比較和"作商"比較兩種。基本思想是把難於比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當求證的不等式兩端是分項式（或分式）時，常用作差比較，當求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數式時常用作商比較）
例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2
分析：由題目觀察知用"作差"比較，然後提取公因式，結合a+b≥0來說明作差後的正或負，從而達到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負。
∵（a3+b3)(a2b+ab2)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)
證明： =(a-b)2(a+b)
又∵(a-b)2≥0a+b≥0
∴(a-b)2(a+b)≥0
即a3+b3≥a2b+ab2
例2 設a、b∈r+，且a≠b，求證：aabb＞abba
分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商後同"1"比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小
證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則
aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b
∵ab0，∴ab1，a-b0
∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba
練習1 已知a、b∈r+，n∈n，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）
基本不等式法
利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及 變形有：
（1）若a、b∈r，則a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時，取等號）
（2）若a、b∈r+，則a+b≥ 2ab （當且僅當a=b時，取等號）
（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當且僅當a=b時，取等號）
例3 若a、b∈r， ｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1-b2+b1-a2≤1
分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22
證明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1
∴b1-a2+a1-b2≤1，當且僅當a1+b2=1時，等號成立
練習2：若 ab0，證明a+1(a-b)b≥3
綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發，根據不等式性質推算出要證明不等式。
例4，設 a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(b+1b)2≥252
證明：∵ a0，b0，a+b=1
∴ab≤14或1ab≥4
左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2
=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252
練習3：已知a、b、c為正數，n是正整數，且f (n)=1gan+bn+**3
求證：2f（n）≤f（2n）
分析法從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。
例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab
分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據觀察求證式等價於 ｜a-c｜＜c2-ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。
要證c-c2-ab＜a＜c+c2-ab
只需證-c2-ab＜a-c＜c2-ab
證明： 即證 ｜a-c｜＜c2-ab
即證 (a-c)2＜c2-ab
即證 a2-2ac＜-ab
∵a＞0，∴即要證 a-2c＜-b 即需證2+b＜2c，即為已知
∴ 不等式成立
練習4：已知a∈r且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）2
放縮法放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強常用技巧有：（1）捨去一些正項（或負項），（2）在和或積中換大（或換小）某些項，（3）擴大（或縮小）分式的分子（或分母）等。
例6：已知a、b、c、d都是正數
求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2
分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。
證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1
又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d
∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2
綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2
練習5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜1
6換元法
換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用於條件不等式的證明，常見的是三角換元。
(1)三角換元：
是一種常用的換元方法，在解代數問題時，使用適當的三角函式進行換元，把代數問題轉化成三角問題，充分利用三角函式的性質去解決問題。
例7、若x、y∈r+,且 x-y=1 a=(x-1y)(y+1y)。1x，求證0＜a＜1
證明： ∵x，y∈r+， 且x-y=1，x=secθ ， y=tanθ ，（0＜θ＜xy ）
∴ a=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ
=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ
=sinθ
∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜a＜1
複習6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2-xy+y2≤3
(2)比值換元：
對於在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設一個輔助未知數表示這個比值，然後代入求證式，即可。
例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z2≥4314
證明：設x-1=y+12=z-23=k
於是x=k+1，y=zk-1，z=3k+2
把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2
=14(k+514)2+4314≥4314
反證法有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結論不成立，然後依據已知條件以及有關的定義、定理、公理，逐步推匯出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結論，從而肯定原有結論是正確的，凡是"至少"、"唯一"或含有否定詞的命題，適宜用反證法。
例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤2
分析：本題已知為p、q的三次 ，而結論中只有一次 ，應考慮到用術立方根，同時用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。
證明：解設p+q＞2，那麼p＞2-q
∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q3
將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0
即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾 ∴p+q≤2
練習7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.
求證：a＞0，b＞0，c＞0
數學歸納法
與自然數n有關的不等式，通常考慮用數學歸納法來證明。用數學歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。
例10：設n∈n，且n＞1,求證： (1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12
分析：觀察求證式與n有關，可採用數學歸納法
證明：（1）當n=2時，左= 43，右=52
∵43＞52∴不等式成立
（2）假設n=k(k≥2，k∈n)時不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12
那麼當n=k+1時，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①
要證①式左邊＞ 2k+32，只要證2k+12·
2k+22k+1＞2k+32②
對於②〈二〉2k+2＞ 2k+1·2k+3
〈二〉(2k+2)2＞ (2k+1)(2k+3)
〈二〉4k2+8k+4＞ 4k2+8k+3
〈二〉4＞3 ③
∵③成立 ∴②成立，即當n=k+1時，原不等式成立
由（1）（2）證明可知，對一切n≥2（n∈n），原不等式成立
練習8：已知n∈n，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞ 1324
構造法根據求證不等式的具體結構所證，通過建構函式、數列、合數和圖形等，達到證明的目的，這種方法則叫構造法。
1建構函式法
例11：證明不等式：x1-2x ＜x2 （x≠0）
證明：設f（x）= x1-2x- x2 （x≠0）
∵f (-x)
=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2
=x1-2x- ［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2
=f（x）
∴f（x）的影象表示y軸對稱
∵當x＞0時，1-2x＜0 ，故f（x）＜0
∴當x＜0時，據影象的對稱性知f（x）＜0
∴當x≠0時，恆有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）
練習9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：b- b2-ab＜a＜b+b2-ab
2構造圖形法
例12：若f（x）=1+x2 ，a≠b，則|f（x）-f（b）|＜ |a-b|
分析：由1+x2 的結構可知這是直角座標平面上兩點a(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2
於設a(1，a)，b(1，b)則0a= 1+a2
用數學歸納法證明不等式
用數學歸納法可以做,下面作數學歸納法證明 當n 1時,由x 1得 1 x 1 x 1 x 2 2x 2x 2x 4x 2 2 x,不等式成立,假設不等式對任意n成立,下面考慮n 1時的情況 1 x n 1 1 x n 1 1 x n 1 x n 1 x n 1 1 x 1 x n 2 n 1 x n...
用數學歸納法證明不等式 1 n
很簡單。1 當n 2時，1 2 1 3 1 4 13 12 1 2 假設當n k時，原式成立，即1 k 1 k 1 1 k 2 1 則n k 1時,原式左側為1 k 1 1 k 2 1 k 1 2 注意 此時，上下兩式相差不大，注意比較 因為k 2 所以1 k 2 1 1 k k 2 1 k 2 2...
柯西不等式證明，柯西不等式的簡便證明方法？？
cauchy不等式的形式化寫法就是 記兩列數分別是ai,bi，則有 ai 2 bi 2 ai bi 2.令 f x ai x bi 2 bi 2 x 2 2 ai bi x ai 2 則恆有 f x 0.用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有 4 ai bi 2 4 ai 2 bi 2 0.於是...