1樓:匿名使用者
數學歸納法適用於證明可列(也稱可數:即問題和1,2,3,4......相對應)類問題,平均值不等式不是這類問題,所以不適宜用數學歸納法來證明。
均值不等式的證明
2樓:竺景明赧辛
證:x屬於
【0,π/2】,所以sinx,cosx都屬於【0,1】,所以√sinx+√cosx≥sin2x+cos2x=1,左邊得證。
√sinx+√cosx≤√【2(sinx+cosx)】=√【2√2sin(x+π/4)】≤√(2√2)=2^(3/4),右邊得證。所以不等式成立。證畢
3樓:強少
關於均值不等式的證明方法有很多,數學歸納法(第一數學歸納法或反向歸納法)、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等,都可以證明均值不等式,在這裡簡要介紹數學歸納法的證明方法:
(注:在此證明的,是對n維形式的均值不等式的證明方法。)
用數學歸納法證明,需要一個輔助結論。
引理:設a≥0,b≥0,則,且僅當b=0時取等號。
注:引理的正確性較明顯,條件a≥0,b≥0可以弱化為a≥0,a+b≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數學歸納法)。
原題等價於:, 當且僅當時取等號。
當n=2時易證;
假設當n=k時命題成立,即, 當且僅當時取等號。那麼當n=k+1時,不妨設是、......中最大者,則
設,,根據引理
,當且僅當且時,即時取等號。
利用琴生不等式法也可以很簡單地證明均值不等式,同時還有柯西歸納法等等方法。
4樓:巨集原藏容
x<5/4
所以4x-5
不能直接用均值不等式
令g(x)=-f(x)=2-4x+1/(5-4x)2-4x* 1/(5-4x)不為定值
所以 轉化成
g(x)=5-4x+1/(5-4x)-3
利用均值不等式
g(x)>=-1 則
f(x)<=-1所以
最大值為-1
求:關於均值不等式的證明
5樓:匿名使用者
用數學歸納法證明,需要一個輔助結論。
引理:設a≥0,b≥0,則(a+b)n≥an+nan-1b。
注:引理的正確性較明顯,條件a≥0,b≥0可以弱化為a≥0,a+b≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數學歸納法)。
原題等價於:((a1+a2+...+an )/n)n≥a1a2...an。
當n=2時易證;
假設當n=k時命題成立,即
((a1+a2+...+ak )/k)k≥a1a2...ak。那麼當n=k+1時,不妨設ak+1是a1,a2 ,...,ak+1中最大者,則
k ak+1≥a1+a2+...+ak。
設s=a1+a2+...+ak,
((a1+a2+...+ak+1)/(k+1))k+1=(s/k+(k ak+1-s)/(k(k+1)))k+1≥(s/k)k+1+(k+1)(s/k)k(k ak+1-s)/k(k+1) 用引理
=(s/k)k ak+1
≥a1a2...ak+1。用歸納假設
6樓:匿名使用者
^均值不等式為:√xy<=(x+y)/2,其中x,y>0,且「=」成立當且僅當x=y
證明:(x-y)^2=x^2+y^2+2xy-4xy>=0故(x+y)^2>=4xy,因為 x,y>0,開方即得:
√xy<=(x+y)/2,且易知,等號成立當且僅當x=y
怎麼用數學歸納法證明均值不等式
7樓:匿名使用者
給你摘一個柯西的證明,反向歸納法,很好。
用數學歸納法證明不等式
用數學歸納法可以做,下面作數學歸納法證明 當n 1時,由x 1得 1 x 1 x 1 x 2 2x 2x 2x 4x 2 2 x,不等式成立,假設不等式對任意n成立,下面考慮n 1時的情況 1 x n 1 1 x n 1 1 x n 1 x n 1 x n 1 1 x 1 x n 2 n 1 x n...
用數學歸納法證明不等式 1 n
很簡單。1 當n 2時，1 2 1 3 1 4 13 12 1 2 假設當n k時，原式成立，即1 k 1 k 1 1 k 2 1 則n k 1時,原式左側為1 k 1 1 k 2 1 k 1 2 注意 此時，上下兩式相差不大，注意比較 因為k 2 所以1 k 2 1 1 k k 2 1 k 2 2...
用數學歸納法證明不等式1 根號二分之一加根號三分之一一直加到根號n分之一大於根號n
因為 1 根號二分襲 之一 根號2 1 根號二分之一 根號三分之一 根號3 由此類推 1 根號二分之一 根號三分之一 根號 n 1 分之一 根號 n 1 其中n 2 等式兩邊同時加上 根號n分之一 等式右邊易證 根號 n 1 根號n分之一 根號n所以可得 1 根號二分之一 根號三分之一 根號n分之一...