1樓:匿名使用者
用數學歸納法證bai明du,需要一個輔助結論。
zhi引理:設
daoa≥0,b≥0,則(a+
內b)n≥an+nan-1b。
注:引理的正確容性較明顯,條件a≥0,b≥0可以弱化為a≥0,a+b≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數學歸納法)。
原題等價於:((a1+a2+...+an )/n)n≥a1a2...an。
當n=2時易證;
假設當n=k時命題成立,即
((a1+a2+...+ak )/k)k≥a1a2...ak。那麼當n=k+1時,不妨設ak+1是a1,a2 ,...,ak+1中最大者,則
k ak+1≥a1+a2+...+ak。
設s=a1+a2+...+ak,
((a1+a2+...+ak+1)/(k+1))k+1=(s/k+(k ak+1-s)/(k(k+1)))k+1≥(s/k)k+1+(k+1)(s/k)k(k ak+1-s)/k(k+1) 用引理
=(s/k)k ak+1
≥a1a2...ak+1。用歸納假設
均值不等式推廣的證明
2樓:非常可愛
^均值不等式推廣的證明:
1、均值不等式的推廣: 3[al^2+...+an^2]/n>(a1+a2+...+an)/n> va1a2..an>n/(1/a1+1/a2+...+1/an
2、證明: /[a1^2+...+ an^2]/n >(a1+a2+...
+an)/n .兩邊平方即證((a1)^2+(a2)^2+...+(an)^2)2(al+a2+...
+an) ^2 /m
擴充套件資料
均值不等式推廣理論定義
1、均值不等式,是數學中的一個重要公式。公式內容為hn≤gn≤an≤qn,即調和平均數不超過幾何平均數,幾何平均數不超過算術平均數,算術平均數不超過平方平均數。
2、h,≤gn≤an≤qn被稱為均值不等式。.即調和平均數不超過幾何平均數,幾何平均數不超過算術平均數,算術平均數不超過平方平均數,簡記為「調幾算方」。
3樓:紫色智天使
你會用到均值不等式推廣的證明,估計是搞競賽的把對n做反向數學歸納法
首先 歸納n=2^k的情況
k=1 。。。
k成立 k+1 。。。
這些都很簡單的用a+b>=√(ab) 可以證明得到關鍵是下面的反向數學歸納法
如果n成立 對n-1,
你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1)然後代到已經成立的n的式子裡,整理下就可以得到n-1也成立。
所以得證
n=2^k中k是什麼範圍
k是正整數
第一步先去歸納2,4,8,16,32 ... 這種2的k次方的數一般的數學歸納法是知道n成立時,去證明比n大的時候也成立。
而反向數學歸納法是在知道n成立的前提下,對比n小的數進行歸納,
4樓:匿名使用者
k是正整數。是n=2^k。它是對n歸納,不是對an或bn歸納。
5樓:澹臺蝶宿君
用數學歸納法證明,需要一個輔助結論。
引理:設a≥0,b≥0,則(a+b)n≥an+nan-1b。
注:引理的正確性較明顯,條件a≥0,b≥0可以弱化為a≥0,a+b≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數學歸納法)。
原題等價於:((a1+a2+...+a譁處糕肺蕹鍍革僧宮吉n)/n)n≥a1a2...an。
當n=2時易證;
假設當n=k時命題成立,即
((a1+a2+...+ak
)/k)k≥a1a2...ak。那麼當n=k+1時,不妨設ak+1是a1,a2
,...,ak+1中最大者,則
kak+1≥a1+a2+...+ak。
設s=a1+a2+...+ak,
((a1+a2+...+ak+1)/(k+1))k+1=(s/k+(k
ak+1-s)/(k(k+1)))k+1
≥(s/k)k+1+(k+1)(s/k)k(kak+1-s)/k(k+1)
用引理=(s/k)k
ak+1
≥a1a2...ak+1。用歸納假設
這個均值不等式的推廣形式要如何證明?
6樓:匿名使用者
均值不等式的n元形式啊
(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n),n是個數.這道題個數不就是m1+m2+...+mk嗎
均值不等式有那些形式和推廣
7樓:夏戀心雨
均值不等
式幾個重要不等式(一)
一、平均值不等式
設a1,a2,..., an是n個正實數,則,當且僅當a1=a2=...=an時取等號
1.二維平均值不等式的變形
(1)對實數a,b有a2+b232ab (2)對正實數a,b有
(3)對b>0,有, (4)對ab2>0有,
(5)對實數a,b有a(a-b)3b(a-b) (6)對a>0,有
(7) 對a>0,有 (8)對實數a,b有a232ab-b2
(9) 對實數a,b及l10,有
二、例題選講
例1.證明柯西不等式
證明:法
一、若或命題顯然成立,對10且10,取
代入(9)得有
兩邊平方得
法二、,即二次式不等式恆成立
則判別式
例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,試證明:
(1)(2)證明:(1)左=
= 3(2)由知
同理:相加得:左3
例3.求證:
證明:法
一、取,有
a1(a1-b)3b(a1-b), a2(a2-b)3b(a2-b),..., an(an-b)3b(an-b)
相加得(a12+ a22+...+ an2)-( a1+ a2+...+ an)b3b[(a1+ a2+...+ an)-nb]30
所以 法
二、由柯西不等式得: (a1+ a2+...+ an)2=((a1×1+ a2×1+...+ an×1)2£(a12+ a22+...+ an2)(12+12+...+12)
=(a12+ a22+...+ an2)n,
所以原不等式成立
例4.已知a1, a2,...,an是正實數,且a1+ a2+...+ an<1,證明:
證明:設1-(a1+ a2+...+ an)=an+1>0,
則原不等式即nn+1a1a2...an+1£(1-a1)(1-a2)...(1-an)
1-a1=a2+a3+...+an+13n
1-a2=a1+a3+...+an+13n
................................................
1-an+1=a1+a1+...+an3n
相乘得(1-a1)(1-a2)...(1-an)3nn+1
例5.對於正整數n,求證:
證明:法
一、 >
法二、左=
= 例6.已知a1,a2,a3,...,an為正數,且,求證:
(1)(2)證明:(1)
相乘左邊3=(n2+1)n
證明(2)
左邊= -n+2(
= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+...+(2-an)](
3 -n+2×n
參考資料
均值不等式的推廣
8樓:匿名使用者
亂講幾句......均值不等式是n個正實數的算術平均大於或等於幾何平均,數的個數n應該不能是正實數吧。如果非要推廣可以去看冪平均不等式......
9樓:莫範裘碧琴
這要反向
數學歸納法
很複雜的
前幾天競賽老師講過忘了
10樓:遲賢改代靈
你會用到均值不等式推廣的證明,估計是搞競賽的把對n做反向數學歸納法
首先歸納n=2^k的情況
k=1。。。
k成立k+1
。。。這些都很簡單的用a+b>=√(ab)可以證明得到
關鍵是下面的反向數學歸納法
如果n成立
對n-1,
你令an=(n-1)次√(a1a2...a(n-1)然後代到已經成立的n的式子裡,整理下就可以得到n-1也成立。
所以得證
n=2^k中k是什麼範圍
k是正整數
第一步先去歸納2,4,8,16,32
...這種2的k次方的數
一般的數學歸納法是知道n成立時,去證明比n大的時候也成立。
而反向數學歸納法是在知道n成立的前提下,對比n小的數進行歸納,
什麼是均值不等式均值不等式是什麼啊
均值不等式的簡介 概念 1 調和平均數 hn n 1 a1 1 a2 1 an 2 幾何平均數 gn a1a2.an 1 n n次 a1 a2 a3 an 3 算術平均數 an a1 a2 an n 4 平方平均數 qn a1 2 a2 2 an 2 n 這四種平均數滿足hn gn an qn a1...
均值不等式都有哪些均值不等式定理有哪些
均值不等式，又名平均值不等式 平均不等式，是數學中的一個重要公式 公式內容為hn gn an qn，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數。概念 1 調和平均數 hn n a 1 a 2 a n 2 幾何平均數 gn n a 1 a 2 a n 3 算術...
三元均值不等式的成立條件是什麼均值不等式的使用條件
1.當a b c為定值時,三次方根 abc 有最大值為 a b c 3 當且僅當a b c是取等號 2.當abc為定值時,a b c 3 有最小值為三次方根 abc 三次方根 如果一個數的立方等於a，那麼這個數叫做a的立方根或三次方根 cube root 這就是說，如果x3 a,那麼x叫做a的立方根...