1樓：藺瑞冬
t是切向量，梯度向量與切向量垂直。
2樓：匿名使用者
梯度的本意是一個向量（向量），表示某一函式在該點處的方向導數沿著該方向取得最大值，即函式在該點處沿著該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（為該梯度的模）。
3樓：匿名使用者
梯度對多元函式來說是一個很重要的概念，最典型的應用就是在無約束最優化問題求解方面，典型的案例就是一個多元函式求最小值問題。minf（x）（其中x∈r^n）
如果函式f形式簡單，可以直接通過求一階導數獲得駐點，繼而求二階導數資訊（黑塞矩陣），通過黑塞矩陣的正定，負定判斷極值。然而，實際中絕大多數最優化問題的函式，求導數是複雜的，不能獲得精確解，用數值分析方法才是最主要方法。
一個最簡單的數值方法就是搜素演算法，無非就是獲得一個點x*，使得f（x*)最小，給一個初始點x0，然後令x1=x0+kp。k稱為步長，p稱為搜尋方向（實際是與x元素相同的一個向量而已）。要求每搜尋一步，函式值都相應減小，因此獲得步長和搜尋方向是問題的關鍵，最典型的方法就是梯度法，令p為梯度方向，也就是在令p=gradf|(x0)。
然後代入f(x1)，這是一個關於k的一元方程，用求導方法使得，f(x1)=min，即可解出k，這樣就完整的求出了這一次搜尋的步長+方向，依次進行.....
直到||grad（f(x^k)）|| 因此，多元函式在x0點處梯度的模，其實就是在該點處，函式值的最大變化率。 請問在高數中,方向導數和梯度的具體幾何意義是什麼以及如何解答有 4樓：分公司前 方向導數就是一個曲面上的某點(x，y)，從該點起始沿特定方向函式的變化率。可以類比成：有一個山峰，你站在山頂觀察，北坡較陡南坡較緩。 梯度：梯度本質就是一個向量。一個曲面上某點(x，y)，梯度是由該點偏導數得出的向量(a，b)。可以類比成：你站在該點，按照向量所指的方向下山最快。 請問偏導數表達的梯度有什麼幾何意義 5樓：匿名使用者 梯度方向就是經過該點的等值線（面）的法向量，指向函式值較大的等值線（面），該方向函式在該點增長最快，也就是方向導數最大。 6樓：百度使用者 梯度的幾何意義是方向導數增長最快的方向。 梯度的混合積有什麼幾何意義 為什麼梯度方向是等高線的法線方向。。怎麼理解啊 7樓：老師 你可以這樣想象一個z=f(x,y)的三維影象，每一個（x,y）點都有一個z與之對映，可以想象得到那將是一個曲面，然後你想象曲面上一個特定的點，它就像你在爬山的時候站在半山腰一樣。 如果你平的在那個半山腰左右走，那麼你的高度是不會變的。這裡高度就是z的值。這條你剛剛走的線就是等值線。 既然在求梯度的時候要求導，正如一元函式一樣，你把「很小的曲面」當作「平面」來求導，正如你在一元函式中把「一小段曲線」當化做"直線"一樣。你可以想象如果你筆直朝著山頂走，就可以最快的上升（如果是平面,而且你的速度一定的話）。這條向上的線的就是梯度向量加上z的增量所組成的向量。 （注意，二元函式的梯度是二維的向量。兩個維度是自變數。） 現在你已經在這個曲面上找到了等值線和梯度了，試想下，你在一個斜的平面上走，向上升最快的方向是不是唯一的呢？平著走和向上走兩個方向是不是垂直的呢？所以說,梯度是等值線的法線方向. 這就是梯度幾何意義，如果用向量乘來計算，那將是 → → δz = grad z · l 我很奇怪為什麼打出來這個點乘符號這麼小。左邊是z的增加量，就是上升多少，右邊是一個向上走的方向，一個是你現在選擇的前進的方向向量。這裡選擇前進方向為（δx,δy）,得到： δz=z'｜x · δx +z'｜y ·δy 你可以看到,這就是二元函式偏導的定義. 現在把你前進的速度定為1,也就是l的長度定為1,得到的值就是方向導數.這是因為你選定了方向和速度,那麼左邊就是你上升的速度,也就是方向導數. 希望我的話對你理解有所幫助. 向量數量積的幾何意義是什麼？ 8樓：cy辭言 向量數量積的幾何意義：一個向量在另一個向量上的投影。 定義兩向量的數量積等於其中一個向量的模與另一個向量在這個向量的方向上的投影的乘積 兩向量α與β的數量積α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是兩向量的模θ是兩向量之間的夾角(0≤θ≤π) 若有座標α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那麼 α·β=x1x2+y1y2+z1z2 |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2) 把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影 因此用數量積可以求出兩向量的夾角的餘弦cosθ=α·β/|α|*|β| 已知兩個向量a和b,它們的夾角為c,則a的模乘以b的模再乘以c的餘弦稱為a與b的數量積(又稱內積、點積。) 即已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為θ,則數量|a||b|cosθ叫做a與b的數量積,記作a·b"·不可省略若用×則成了向量積 擴充套件內容： 向量積性質 幾何意義及其運用 叉積的長度 |a×b| 可以解釋成這兩個叉乘向量a,b共起點時，所構成平行四邊形的面積。據此有：混合積 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c為稜的平行六面體的體積。 [1] 代數規則 1.反交換律：a×b= -b×a 2.加法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c 3.與標量乘法相容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b) 4.不滿足結合律，但滿足雅可比恆等式：a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0 5.分配律，線性性和雅可比恆等式別表明：具有向量加法和叉積的 r3 構成了一個李代數。 6.兩個非零向量a和b平行，當且僅當a×b=0。 [1] 拉格朗日公式 這是一個著名的公式，而且非常有用： (a×b)×c=b(a·c) -a(b·c) a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b), 證明過程如下： 二重向量叉乘化簡公式及證明 可以簡單地記成「bac - cab」。這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要注意的是，這個公式對微分運算元不成立。 這裡給出一個和梯度相關的一個情形： 這是一個霍奇拉普拉斯運算元的霍奇分解的特殊情形。 另一個有用的拉格朗日恆等式是： 這是一個在四元數代數中範數乘法 | vw | = | v | | w | 的特殊情形。 [2] 矩陣形式 給定直角座標系的單位向量i，j，k滿足下列等式： i×j=k； j×k=i ； k×i=j ； 通過這些規則，兩個向量的叉積的座標可以方便地計算出來，不需要考慮任何角度：設 a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k； b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ； 則a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]。 叉積也可以用四元數來表示。注意到上述i，j，k之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言，若將向量 [a1, a2, a3] 表示成四元數 a1i+ a2j+ a3k，兩個向量的叉積可以這樣計算： 計算兩個四元數的乘積得到一個四元數，並將這個四元數的實部去掉，即為結果。更多關於四元數乘法，向量運算及其幾何意義請參看四元數（空間旋轉）。 [2] 高維情形 七維向量的叉積可以通過八元數得到，與上述的四元數方法相同。 七維叉積具有與三維叉積相似的性質： 雙線性性：x× (ay+ bz) = ax×y+ bx×z；(ay+ bz) ×x= ay×x+ bz×x； 反交換律：x×y+y×x= 0； 同時與 x 和 y 垂直：x· (x×y) =y· (x×y) = 0； 拉格朗日恆等式：|x×y|² = |x|² |y|² - (x·y)²； 不同於三維情形，它並不滿足雅可比恆等式：x× (y×z) +y× (z×x) +z× (x×y) ≠ 0。 9樓：匿名使用者 簡單講，倆個平面向量的數量積，等於向量1在向量2上的投影長度乘以向量2的長度。結果是一個數 10樓：毛果芽 定義：向量的點積又稱數量積，是將兩個向量對應位一一相乘之後再求和所得的數值。 對於向量a和向量b： 點積為一標量。 幾何意義 點積可以用來求兩個向量之間的夾角。 當兩向量垂直時，點積為0。 當兩非零向量間的夾角<90度時，點積大於0。 當兩非零向量間的夾角》90度時，點積小於0。 向量的點積在與圖形學相關的計算機程式設計中應用非常廣泛。 11樓：匿名使用者 物理上可表示力所做的功，即移動方向上的力的大小與位移的距離的乘積。 混合積的幾何意義 12樓：匿名使用者 1、混合積的幾何意義： 幾何上，由三個向量定義的平行六面體，其體積等於三個標量標量三重積的絕對值： 2、證明： 以 b 和 c 來表示底面的邊，則根據叉積的定義，底面的面積a為： 其中，且 得出結論： 於是，根據點積的定義，它等於 的絕對值，即 擴充套件資料： 混合積的特性： 1、以下恆等式，稱作三重積或拉格朗日公式，對於任意向量 a，b。c 均成立： 2、英文中有對於第一式有助記口訣 bac-cab (back-cab，後面的計程車)，但是不容易記住第一式跟第二式的變化，很容易搞混。 觀察兩個公式，可得到以下三點： 兩個分項都帶有三個向量 a，b。c ，三重積一定是先做叉積的兩向量之線性組合。中間的向量所帶的係數一定為正（此處為向量b）。 在向量分析中，有以下與梯度相關的一條恆等式： 這是一個拉普拉斯－德拉姆運算元的特殊情形。 13樓：匿名使用者 向量的混合積可以用來計算四面體的體積v=1/6*abs([ab ac ad])，即向量的混合積為空間六面體的體積。 例如上圖中，ab ,ad ,aa1 的混合機幾何意義就是如圖所示的空間六面體的體積。 混合積：設 a ，b ，c 是空間中三個向量，則 (a×b) c 稱為三個向量 a ，b ，c 的混合積，記作[a b c] 或 (a,b,c) 或 (abc). 定義：設 a ，c 是空間中三個向量，則 (a×b)c 稱為三個向量 a ，b ，c 的混合積，記作[a b c] 或 (a,b,c) 或 (abc). 設 a ，b ，c 為空間中三個向量，則 |(a×b)c| 的幾何意義表示以 a ，b ，c 為稜的平行六面體的體積 . 因為 (a,b,c)=(a×b)c=|a×b||c|cos 〈 a ×b ，c 〉= |ax ay az| |bx by bz| |cx cy cz| 向量的混合積可以用來計算四面體的體積v=1/6*abs([ab ac ad]) ，從而混合積 (a,b,c) 的符號是正還是負取決於 ∠ (a×b ， c ) 是銳角還是鈍角，即 a×b 與 c 是指向 a ， b 所在平面的同側還是異側，這相當於 a ， b ， c 三個向量依序構成右手系還是左手系 . 定理：三個向量 a ， b ， c 共面的充分必要條件是 (a,b,c)=0. 方向導數就是一個曲面上的某點 x，y 從該點起始沿特定方向函式的變化率。可以類比成 有一個山峰，你站在山頂觀察，北坡較陡南坡較緩。梯度 梯度本質就是一個向量。一個曲面上某點 x，y 梯度是由該點偏導數得出的向量 a，b 可以類比成 你站在該點，按照向量所指的方向下山最快。高數，方向導數與梯度，這題答... 1 混合積的幾何意義 幾何上,由三個向量定義的平行六面體,其體積等於三個標量標量三重積的絕對值 2 證明 以 b 和 c 來表示底面的邊,則根據叉積的定義,底面的面積a為 其中,且 得出結論 於是,根據點積的定義,它等於 的絕對值,即 擴充套件資料 混合積的特性 1 以下恆等式,稱作三重積或拉格朗日... 梯度gradient 設體系中某處的物理引數 如溫度 速度 濃度等 為w,在與其垂直距離的dy處該引數為w dw,則稱為該物理引數的梯度,也即該物理引數的變化率.如果引數為速度 濃度或溫度,則分別稱為速度梯度 濃度梯度或溫度梯度.在向量微積分中,標量場的梯度是一個向量場.標量場中某一點上的梯度指向標...請問在高數中,方向導數和梯度的具體幾何意義是什麼以及如何解答
混合積的幾何意義,用混合積的幾何意義證明三向量共面的充分必要條件是
數學中的梯度是什麼意思數學中的梯度是什麼？