1樓：匿名使用者
不一bai定是所有解的集合，高階微du分方程仍然zhi有奇解或者奇dao點問題，例如你提回到的齊次
答線性常微分方程，y==c/b就是它的一個奇解。奇解問題在利亞普諾夫穩定性理論當中有異常重要的地位，高階微分方程或者微分方程組的奇解與其通解穩定性有至關重要的聯絡。
可以說，一般情況下只要存在奇解的方程通解就不是所有解，我記得我考研的時候好像做過一道證明題是說滿足柯西問題的齊次線性常微分方程通解必不包含所有解。
2樓：匿名使用者
對於二階齊次方程
y'' + ay' + by =0
y=c1*y1+c2*y2+c,當c不為0時，不是方程的解。
你驗證解的時候驗錯了。
通解的確是所有解的集合。
3樓：川農又一受害者
y=c1*y1+c2*y2+c是二階非齊次方程y''+ay'+by=c的解，相當於在等式兩邊同是加上相同常數等式仍然成回立。通解確實能通過取不同
答常數變成任何一個解，也就是說它確實是所有解的集合，但c1*y1+c2*y2不一定是通解，必須要滿足y1,y2是其次方程的兩個線性無關解
另外針對樓下說有奇點的問題，我想說的是，那些奇點通過c1,c2的組合都能夠取到。
4樓：匿名使用者
y=c1*y1+c2*y2+c只有當c=0的時候才會是解。
二階常係數齊次線性微分方程 通解
5樓：匿名使用者
y'' - 2y' + 5y = 0,
設y = e^[f(x)],則
y' = e^[f(x)]*f'(x),
y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x).
0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)],
0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5,
當f(x) = ax + b, a,b是常數時。
f''(x) = 0,
f'(x) = a.
0 = a^2 - 2a + 5.
2^2 - 4*5 = -16 < 0.(2^2-4*5)^(1/2)=4i.
a = [2 + 4i]/2 = 1 + 2i或a = [2-4i]/2 = 1 - 2i.
y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1+2i)x + b] = e^[x+b]*e^(2ix)
或 y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1-2i)x + b] = e^[x+b]*e^(-2ix)
因2個解都滿足微分方程。所以，微分方程的實函式解為，
y = e^[x+b]*e^(2ix) + e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)]
或 y = e^[x+b]*e^(2ix) - e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[x+b][sin(2x)]
微分方程的實函式的通解為，
y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)]
= e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)]
其中，c1,c2 是任意常數。
記 c1 = 2c1e^b, c2 = 2c2e^b,
有 y = e^x[c1cos(2x) + c2sin(2x)]
c1,c2為任意常數。
這個，可能就是特徵方程無實數根時，通解的由來吧~~
【俺記憶力很差，公式都記不住，全靠傻推。。
這樣的壞處是費時，好處是，自己推1遍，來龍去脈就清楚1些了。
不知道，俺的傻推過程對你的疑問有點幫助沒~~】
6樓：吉祿學閣
r是微分方程的特徵值，它是通過方程r^2-2r+5=0來求出的。
將其看成一元二次方程，判別式=4-20=-16<0,說明方程沒有實數根，但在複數範圍內有根，根為： r1=1+2i r2=1-2i；
在複數領域中，z1=a+bi 和z2=a-bi, 及兩個複數的實數部分相等，虛數部分互為相反數的複數稱為共軛複數；所以本題的兩個特徵值符合這一關係，故謂共軛復根。
7樓：風長月
就是解r^2-2r+5=0這個方程
r^2-2r+1=-4
(r-1)^2=-4
所以r1=1+2i r2=1-2i
應該沒有什麼難理解的啊
8樓：匿名使用者
r^2-2r+5=0
δ=b^2-4ac=16<0
所以這個方程沒有實根，而是是2個共軛復根。
復根就是用複數
表示的根
複數是比實數更大範圍的數， 由實部和虛部組成。
虛部有個i，i^2=－1，如設實數m，n，則複數可以表示為m+ni，m是實部，ni為虛部。
其中m+ni和m-ni是共軛關係，就是虛部是相反數，實部相等的兩複數！
復根一元二次方程的解法是m=-b/2a n=(根號下|δ|)/2a希望您能明白
9樓：邢俊傑
r^2-2r+5=0 在實數域內你能
得到根麼？在複數域內則可得到一對共軛復根，事實上任何實係數一元多次方程若有虛根，則虛根必共軛成對出現！
當然你可能更想知道怎麼由這對共軛根得到該微分方程的通解，這問題個根據兩種情況解決
1）你只是學簡單地高等數學，或者搞工程技術，那麼只需要記住怎麼由該虛根求得微分方程通解就行了，就是記住公式，記住虛根實虛部和微分方程通解的對應關係（或稱為微分方程解的結構）
2）你對求解過程非常感興趣，或者是學專業數學的，那麼你可以參考任何一本專業講常微分方程的書籍，都能得到你的答案
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