1樓：匿名使用者
公式法、累加法、累乘法、待定係數法、對數變換法、迭代法、數學歸納法、換元法、不動點法、特徵根的方法等等。
型別一歸納—猜想—證明
由數列的遞推公式可寫出數列的前幾項，再由前幾項總結出規律，猜想出數列的一個通項公式，最後用數學歸納法證明．
型別二「逐差法」和「積商法」
(1)當數列的遞推公式可以化為an+1-an=f(n)時，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1個式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得時，兩邊累加得通項an，此法稱為「逐差法」．
(2)當數列的遞推公式可以化為an+1/an=f(n)時，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1個式子，即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得時，兩邊連乘可求出an，此法稱為「積商法」．
型別三構造法遞推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不為零的常數)，可用待定係數法構造一個新的等比數列求解．
型別四可轉化為型別三求通項
(1)「對數法」轉化為型別三．
遞推式為an+1=qan�k(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，兩邊取常用對數，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，則有bn+1=kbn+lgq，轉化為型別三．
(2)「倒數法」轉化為型別三．
遞推式為商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．
若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因為an≠0，所以兩邊取倒數得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,則bn+1=(c/p)bn+q/p，轉化為型別三．
若b≠0，設an+1+x=y(an+x)/qan+c，與已知遞推式比較求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，轉化為b=0的情況．
型別五遞推式為an+1/an=qn/n+k(q≠0,k∈n)
可先將等式(n+k)an+1=qnan兩邊同乘以(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)，得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1=q(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)nan，令bn=(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)•nan,則bn+1=(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1．
從而bn+1=qbn，因此數列｛bn｝是公比為q，首項為b1=k(k-1)(k-2)…2•1•a1=k!a1的等比數列，進而可求得an．
總之，由數列的遞推公式求通項公式的問題比較複雜，不可能一一論及，但只要我們抓住遞推數列的遞推關係，分析結構特徵，善於合理變形，就能找到解決問題的有效途徑．
型別一�歸納—猜想—證明
由數列的遞推公式可寫出數列的前幾項，再由前幾項總結出規律，猜想出數列的一個通項公式，最後用數學歸納法證明．
�例1�設數列｛an｝是首項為1的正項數列，且(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)，則它的通項公式是an=______________．(2023年全國數學卷第15題)
解：將(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)分解因式得(an+1+an)〔(n+1)an+1-nan〕=0．
��由於an＞0，故(n+1)an+1=nan，即an+1=n/(n+1)an．
��因此a2=(1/2)a1=(1/2)，a3=(2/3)a2=(1/3),…．猜想an=(1/n),可由數學歸納法證明之，證明過程略．
型別二�「逐差法」和「積商法」
(1)當數列的遞推公式可以化為an+1-an=f(n)時，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1個式子：
a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)，
且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得時，兩邊累加得通項an，此法稱為「逐差法」．
例2�已知數列｛an｝滿足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),證明：an=(3n-1)/2．
(2023年全國數學卷文科第19題)
證明：由已知得an-an-1=3n-1，故
an=(an-an-1)+(an-1－an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3��n-2�+…+3+1=3n-1/2．
所以得證．
(2)當數列的遞推公式可以化為an+1/an=f(n)時，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1個式子，即
a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,a��n�/an-1�=f(n－1)�，�且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得時，兩邊連乘可求出an，此法稱為「積商法」．
例3�(同例1)(2023年全國數學卷第15題)
另解：將(n+1)a2n+1-nan2＋an+1an=0(n�=1,2,3,…)化簡，得(n+1)an+1=nan，即
an+1/an=n/(n+1)．�
故an=an/an-1•an-1/an-2•an-2/an-3•…•a2/a1�=n-1/n•n-2/n-1•n-3/n-2• … •1/2�=1/n．
型別三�構造法
遞推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不為零的常數)，可用待定係數法構造一個新的等比數列求解．
例4�(同例2)(2023年全國數學卷文科第19題)
另解：由an=3n-1+an-1得3•an/3n=an-1/3n-1+1．
令bn＝an/3n，則有
bn=1/3bn-1+1/3． (*)
設bn+x=1/3(bn-1+x)，則bn=1/3bn-1+1/3x-x，與(*)式比較，得x=-1/2，所以bn-1/2=1/3(bn-1-1/2)．因此數列｛bn-1/2｝是首項為b1-1=a1/3=-1/6，公比為1/3的等比數列，所以bn-1/2=-1/6•(1/3)n-1，即an/3n-1/2=-1/6(1/3)n-1．故an=3n〔1/2-1/6(1/3)n-1〕=3n-1/2．
例5�數列｛an｝中，a1=1,an+1=4an+3n+1，求an．�
解：令an+1+(n+1)x+y=4(an+nx+y)，則
an+1=4an+3nx+3y-x,與已知an+1=4an+3n+1比較，得
3x=3， 所以
x=1,
3y-x=1， y=(2/3)．
故數列｛an+n+(2/3)｝是首項為a1+1+(2/3)=(8/3)，公比為4的等比數列，因此an+n+(2/3)=(8/3)•4n-1,即
an=(8/3)•4n-1-n-(2/3)．
另解：由已知可得當n≥2時，an=4an-1+3(n-1)+1，與已知關係式作差，有an+1-an=4(an-an-1)+3，即an+1-an+1=4(an-an-1+1)，因此數列｛an+1-an+1｝是首項為a2-a1+1=8-1+1=8，公比為4的等比數列，然後可用「逐差法」求得其通項an=(8/3)•4n-1-n-(2/3)．
型別四�可轉化為
型別三求通項
(1)「對數法」轉化為
型別三．
遞推式為an+1=qan�k(q＞0,k≠0且k≠1,a1＞0)，兩邊取常用對數，得lgan+1=klgan+lgq，令lgan=bn，則有bn+1=kbn+lgq，轉化為
型別三．
例6�已知數列｛an｝中，a1=2,an+1=an2，求an．
解：由an+1=an2＞0，兩邊取對數得lgan+1=2lgan．令bn=lgan則bn+1=2bn．因此數列｛bn｝是首項為b1=lga1=lg2，公比為2的等比數列，故bn=2n-1lg2=lg22n-1，即an=22n-1．
(2)「倒數法」轉化為
型別三．
遞推式為商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0，pq≠0,pc≠qb)．
若b=0，得an+1=pan/(qan+c)．因為an≠0，所以兩邊取倒數得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,則bn+1=(c/p)bn+q/p，轉化為
型別三．
若b≠0，設an+1+x=y(an+x)/qan+c，與已知遞推式比較求得x、y，令bn=an+x，得bn+1=ybn/qan+c，轉化為b=0的情況．
例7�在數列｛an｝中，已知a1=2,an+1=(3an+1)/(an+3)，求通項an．
解：設an+1+x=y(an+x)/an+3，則an+1=(y-x)an+(y-3)x/an+3，結合已知遞推式得
y-x=3, 所以
x=1,
y-3=1， y=4，
則有an+1+1=4(an+1)/an+3，令bn=an+1，則bn+1=4bn/bn+2，求倒數得1/bn+1=1/2•1/bn+1/4，即1/bn+1-1/2=1/2(1/bn-1/2)．
因此數列｛1/bn-1/2｝是首項為1/b1-1/2=1/a1+1-1/2=-1/6，公比為1/2的等比數列．
故1/bn-1/2=(-1/6)(1/2)n-1，從而可求得an．
型別五�遞推式為an+1/an=qn/n+k(q≠0,k∈n)
可先將等式(n+k)an+1=qnan兩邊同乘以(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)，得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1=q(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)nan，令bn=(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)•nan,則bn+1=(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1．
從而bn+1=qbn，因此數列｛bn｝是公比為q，首項為b1=k(k-1)(k-2)…2•1•a1=k!a1的等比數列，進而可求得an．
例8�(同例1)(2023年全國數學卷第15題)
另解：將(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,…)，化簡得(n+1)an+1=nan,令nan=bn，則bn+1=bn，所以數列｛bn｝是常數列，由於首項b1=1•a1=1，所以bn=1,即nan=1，故an=1/n．
總之，由數列的遞推公式求通項公式的問題比較複雜，不可能一一論及，但只要我們抓住遞推數列的遞推關係，分析結構特徵，善於合理變形，就能找到解決問題的有效途徑．
高一數學集合問題，求詳解，高一數學，關於集合的問題，求答案及解析，謝謝！ 如果答的好，還會追加懸賞的！
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