1樓:星光下的守望者
狄利克雷函式:處處不連續,處處不可導
魏爾斯特拉斯病態函式:處處連續,處處不可導
詳見維基百科
如何證明魏爾斯特拉斯函式處處連續但處處不可微?
2樓:都騰
級數 證明這個函式處處連續並不困難。由於無窮級數的每一個函式項a^n \cos(b^n \pi x)
的絕對值專都小於常數a^n,而屬正項級數 \sum_ ^\infty a^n 是收斂的。由比較審斂法可以知道原級數一致收斂。因此,由於每一個函式項a^n \cos(b^n \pi x)都是上的連續函式,級數和f(x) 也是上的連續函式。
下面證明函式處處不可導:對一個給定的點x \in ,證明的思路是找出趨於x 的兩組不同的數列(x_n) 和 (x'_n),使得
:\lim \inf \frac > \lim \sup \frac.
這與函式可導的定義矛盾,於是證明完畢。
3樓:傷心邪神
連續性 可以根據 選優級數
具體看 菲赫金戈爾茨《微積分學教程》第二卷 444節
如何證明魏爾斯特拉斯函式處處連續但處處不可微
4樓:
在數學中,魏爾斯特拉斯函式(weierstrass function)是一類處處連續而處處不可導的實值函式。魏爾斯特拉斯函式是一種無法用筆畫出任何一部分的函式,因為每一點的導數都不存在,畫的人無法知道每一點該朝哪個方向畫。魏爾斯特拉斯函式的每一點的斜率也是不存在的。
魏爾斯特拉斯函式得名於十九世紀的德國數學家卡爾·魏爾斯特拉斯(karl theodor wilhelm weierstrass ; 1815–1897)。歷史上,魏爾斯特拉斯函式是一個著名的數學反例。魏爾斯特拉斯之前,數學家們對函式的連續性認識並不深刻。
許多數學家認為除了少數一些特殊的點以外,連續的函式曲線在每一點上總會有斜率。魏爾斯特拉斯函式的出現說明了所謂的「病態」函式的存在性,改變了當時數學家對連續函式的看法。
用級數來證明
1.可微但偏導數不連續的函式有?(舉例) 2.偏導數存在但不可微的函式有?(舉例)
5樓:匿名使用者
1:f(x,y)=(x2+y2)sin[1/(x2+y2)],(x,y)≠(0,0).f(x,y)=0,(x,y)=(0,0)
2,4:f(x,y)=xy/(x2+y2),(x,y)≠(0,0).f(x,y)=0,(x,y)=(0,0)
3:f(x,y)=|x|
函式可微是什麼意思
6樓:
在微積分學中,可微函式是指那些在定義域中所有點都存在導數的函式。可微函式的影象在定義域內的每一點上必存在非垂直切線。因此,可微函式的影象是相對光滑的,沒有間斷點、尖點或任何有垂直切線的點。
一般來說,若x是函式ƒ定義域上的一點,且ƒ′(x)有定義,則稱ƒ在x點可微。這就是說ƒ的影象在(x, ƒ(x))點有非垂直切線,且該點不是間斷點、尖點。
7樓:費倫茲
對於一元函式而言,可微必可導,可導必可微,這是充要條件;
對於多遠函式而言,可微必偏導數存在,但偏導數存在不能推出可微,而是偏導數連續才能推出可微來,這就不是充要條件了。
要證明一個函式可微,必須利用定義,即全增量減去(對x的偏導數乘以x的增量)減去(對y的偏導數乘以y的增量)之差是距離的高階無窮小,才能說明可微,
拓展資料:
一致連續性
與連續性的定義相似
對於任意給定的ε>0,存在某一個正數δ,對於d上任意一點p0,只要p在p0的δ鄰域與d的交集內,就有|f(p0)-f(p)|<ε,則稱f關於集合d一致連續.
一致連續比連續的條件要苛刻很多.
可微性
定義
設函式z=f(x,y)在點p0(x0,y0)的某鄰域內有定義,對這個鄰域中的點p(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函式f在p0點處的增量△z可表示為:
△z=f(x0+△x,y+△y)-f(x0,y0)=a△x+b△y+o(ρ),其中a,b是僅與p0有關的常數,ρ=〔(△x)^2+(△y)^2〕^0.5.o(ρ)是較ρ高階無窮小量,即當ρ趨於零是o(ρ)/ρ趨於零.
則稱f在p0點可微.
8樓:啊人跟打卡公開
1.可微的主要思想是可以去掉去掉高階無窮小。
2.如果函式在某一點的實際增量δy與它在該點的線性增量dy二者的誤差是δx的高階無窮小的話,那麼在該點的增量可以用線性增量dy來代替,則函式在該點可微。
3.具體做題的時候可以參考無窮小與無窮小的比較來判斷函式在該點是否可微。
9樓:手機使用者
就是函式值的增量可以用自變數的增量的線性表示
10樓:萬米烏雲
做題時:關於x的函式在x0處與可導在一元函式層面是互為充要條件的。
含義:用線性增量aδx代替增量δy,誤差為高階無窮小o(x),可省略。
幾何解釋:在(x0,y0)附近,用對應的導函式的值為斜率的切線,近似代替曲線y=f(x)。
11樓:匿名使用者
函式可微的意思:
函式可以進行微積分
什麼函式處處連續處處不可導,求證下面的函式處處連續,卻處處不可導
皮亞諾函式 f x 1 a n sin b n x 其中0 a 1 f x 極限存在,導數不存在。weierstrass函式 求證 下面的函式處處連續,卻處處不可導 顯然級數每一項都小於等於an 其極 限為0 則級數收斂 f x x f x 當 x 0時,極限為0,則連續。然後只需證明 f x x ...
連續函式不一定可導,那為什麼連續函式一定存在原函式呢
可以這樣理解,求導是從函式拿走一些 東西 屬性 積分是賦予函式一些東西 回屬性答 你想從我這拿走的東西我可能沒有 連續函式不一定可導 但是如果你可以給送給我東西 可積 那一旦你給我 積分 我自然就有了 原函式存在 首先連續函式一定bai可積du,這是一個被證明過zhi的定理,這裡只想dao給一個具體...
處處可導的函式其導函式處處連續嗎
f n x n e x dx,積分下限為0,上限為 1781年瑞士數學家尤拉給出的,詳見 不可思議的e 的p133 p134。可導比連續強。可導必定連續。請問,處處可導的函式,導函式一定是連續的麼?這破機器人隨便搜的答案你也信?答案是否定的 連續可導的函式,既然可導,說明定義域內,連續的要求比存在的...