1樓:顪慶
當x∈[0,2]時,f(x)=∫
2(x?1)dx=x
?2x+c,
由f(0)=0可知c=0,
即f(x)=x2-2x;f(x)為週期內為4的奇函式,故f(7)=f(3)=f(-1)=-f(1)=1.故答案容為:1
設f(x)是連續函式,(1)利用定義證明函式f(x)=∫x0f(t)dt可導,且f′(x)=f(x).(2)當f(x)
2樓:面目黧黑
(1)∵f(x)=∫x0
f(t)dt,其中f(x)是連續函式
∴f′(x)=lim
△x→0
f(x+△x)?f(x)
△x=lim
△x→0
∫x+△x
xf(t)dt
△x積分中值定理
.lim
△x→0
f(ξ)△x
△x其中ξ∈(x,x+△x),當△x→0時,ξ→x∴f′(x)=f(x)lim
△x→0
△x△x
=f(x)
(2)∵g(x)=2∫0
xf(t)dt-x∫0
2f(t)dt
∴g(x+2)=2∫
x+20
f(t)dt?(x+2)∫20
f(t)dt
∴g(x+2)?g(x)=2∫
x+2x
f(t)dt?2∫20
f(t)dt=
∴[g(x+2)-g(x)]′=2[f(x+2)-f(x)]而f(x)是以2為週期的周期函式
∴f(x+2)-f(x)=0
∴[g(x+2)-g(x)]′=0
∴g(x+2)-g(x)=c
又當x=0時,g(2)?g(0)=2∫20f(t)dt?2∫20
f(t)dt=0
∴c=0
即g(x)=g(x+2)
∴g(x)是以2為週期的周期函式
設函式f(x)是以2π為週期的偶函式,且f(x)二階可導,求方程f′(x)+2f(x)-3∫x0f(t-x)dt=sinx-1
3樓:專屬aaa丶
因為f是偶函式,f(-x)=f(x),所以∫x0f(t?x)dt
令u=x?t .∫
0xf(?u)(?du)=∫x0
f(?u)du=∫x0
f(u)du.
從而,原方程專可化為f′(x)+2f(x)?3∫ x0f(u)du=sinx?1
2cosx,
兩邊對x求導
得到:屬
f′′(x)+2f′(x)?3f(x)=cosx+12sinx.1
齊次方程f′′(x)+2f′(x)-3f(x)=0的通解為:.y=ce?3x
+c ex.
設1的特解為:y*=acosx+bsinx,代入1可得,a=?1
4,b=0,
故 y*=?1
4cosx.
所以,1的通解為
f(x)=.
y+y*=c
e?3x
+c ex?1
4cosx.
因為f(x)為週期是2π的偶函式,所以f(x)=?14cosx.
設奇函式f(x)在[-1,1]上具有二階導數,且f(1)=1,證明:(1)存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=1;
4樓:匿名使用者
證明如下:
1、由於f(x)為奇函式,則f(0)=0,由於f(x)在[-1,1]上具有二階導數,由拉格朗日定理,存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=f(1)−f(0) / 1−0 =1
2、由於f(x)為奇函式,則f'(x)為偶函式,由(1)可知存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)=1,且f'(-ξ)=1,
令φ(x)=f'(x)+f(x),由條件顯然可知在φ(x)在[-1,1]上可導,由拉格朗日中值定理可知,存在η∈(-1,1),使得φ(1)−φ(−1) / 1−(−1) =φ′(η)成立;
φ(1)-φ(-1)=f'(1)+f(1)-f'(-1)-f(-1)=2f(1)=2,從而φ'(η)=1成立,即f''(η)+f'(η)=1
設f(x)是r上的奇函式,f(x+2)=-f(x),當0≤x≤1時,f(x)=x.(i)求f(π)的值;(ii)作出當-
5樓:冷淚軒_鷵
(bai1)由f(x+2)du=-f(x)得,f(zhix+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是以4為週期的周期函式dao,
∴f(π回)答=f(-1×4+π)
當-4≤x≤4時,f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為s,則s=4s△oab=4×1
2×2×1=4,
(3)由圖得,
函式f(x)的單調遞增區間為[4k-1,4k+1](k∈z),單調遞減區間[4k+1,4k+3](k∈z).
已知f(x)是定義在r上且以4為週期的奇函式,當x∈(0,2)時,f(x)=ln(x2-x+b),若函式f(x)在區間
6樓:匿名使用者
∵f(x)是定
bai義在r上的奇函式,
故duf(0)=0,zhi即0是函式daof(x)的零點,又由f(x)是定義在r上且以回4為週期的周期函式答,故f(-2)=f(2),且f(-2)=-f(2),故f(-2)=f(2)=0,
即±2也是函式f(x)的零點,
若函式f(x)在區間[-2,2]上的零點個數為5,則當x∈(0,2)時,f(x)=ln(x2-x+b),故當x∈(0,2)時,x2-x+b>0恆成立,且x2-x+b=1在(0,2)有一解,
即1-4b<0(12
)-12+b=1
或1-4b<0
1-1+b≤1
4-2+b≥1
解得:1
4 故答案為:1 4 函式來f x 在x 1處取得極小值,源 x 1時,f x 0,x 1時,f x 0,x 1 時,y xf x 0,x 1,0 時,y xf x 0,x 0,時,y xf x 0,故選 c.設函式f x 在r上可導,其導函式為f x 且函式y 1 x f x 的圖象如圖所示 5 影象是函式 baiy ... 週期t 5，所以f a f a kt f a 5k k z，f 1 1，所以f 1 f 1 1，f 14 f 5 3 1 f 1 1，f 2 2，所以f 2 f 2 2，f 8 f 5 2 2 f 2 2，所以f 8 f 14 f 2 f 1 1 求週期，可以把一個函式式子化成f x f x a 的... 函式f x 在 bai 0,1 上連續,du 0,1 內zhi可導,在 2 3,1 內至少存在一點 使dao得 f 1?2 3 12 3f x dx成立,版即權 f 3 12 3f x dx 因為3 12 3f x dx f 0 所以f f 0 因為函式f x 在 0,1 上連續,0,1 內可導,根...設函式fx在R上可導,其導函式為fx,且函式fx
若函式fx是週期為5的奇函式，且滿足f1 1，f2 2 則f8 f
設函式fx在上連續,0,1內可導,且