1樓：匿名使用者
其實用l'hospital法則證明會比較簡單.
對c ∈ [a,b], 由f(x)在c處可導, 有f(x)在c連續, 即lim f(x)-f(c) = 0.
又顯然lim x-c = 0, 因此x → c時(f(x)-f(c))/(x-c)是0/0型極限.
由l'hospital法則, 若右極限lim f'(x)存在, 則有:
右導數f'(c+) = lim (f(x)-f(c))/(x-c) = lim (f(x)-f(c))'/(x-c)' = lim f'(x).
同理若左極限lim f'(x)存在, 則有左導數f'(c-) = lim f'(x).
f(x)在c可導, 故f'(c-) = f'(c+) = f'(c).
因此若f'(x)在c存在左右極限, 則lim f'(x) = f'(c) = lim f'(x), 即f'(x)在c連續.
即f'(x)沒有第一類間斷點.
無窮型間斷點類似.
若lim f'(x) = +∞, 可得f'(c+) = +∞, 與f(x)在c可導矛盾.
不過要說明若lim f'(x) = ∞則lim f'(x) = +∞或lim f'(x) = -∞,
還是用darboux定理比較方便.
因為介值性要求在f'(x)的正值和負值之間總有取0的點.
所以在lim f'(x) = ∞的條件下, f'(x)在充分接近c時只能恆正或恆負.
運用達布定理很容易看出,若函式f(x)在[a,b]上可導,則f′(x)在[a,b]上至多存在振盪型間斷點。 10
2樓：匿名使用者
誰說可以否定，你理解錯了，只否定了導函式存在第一類間斷點
（1）證明拉格朗日中值定理，若函式f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）上可導，則ξ∈（a，b），得證f（b
3樓：匿名使用者
證明：（1）作輔助函式φ(x)＝f(x)?f(a)?f(b)?f(a)
b?a(x?a)，
易驗證φ（x）滿足：φ（a）=φ（b）=0；
又因為：φ（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，且φ′
(x)＝f
′(x)?f(b)?f(a)
b?a．
根據羅爾定理，可得在（a，b）內至少有一點ξ，使φ′（ξ）=0，即：f′（ξ）-f(b)?f(a)
b?a=0
因此：f′（ξ）=f(b)?f(a)
b?a．ξ∈（a，b）
即：f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）．ξ∈（a，b）命題得證．
（2）任取x0∈（0，δ），則函式f（x）滿足：
在閉區間[0，x0]上連續，開區間（0，x0）內可導，根據拉格朗日中值定理可得：存在ξ
x∈(0，x
)?(0，δ)，使得f′(ξ
x)＝f(x
)?f(0)x?0
（*）又由於lim
x→+f
′(x)＝a，對上式（*式）兩邊取x
→+時的極限可得：f+′
(0)＝limx→+
f(x)?f(0)x?0
＝limx→+
f′(ξx
)＝limξx
→+f′(ξ
x)＝a故f+
′(0)存在，且f+′
(0)＝a．
達布定理證明
4樓：過過得很
建構函式g(x)=f(x)-ηx；
由於f(x)在(a,b)區間內可導，所以f(x)在(a,b)區間內連續，故g(x)在(a,b)區間內連續；
補充定義使得g(x)在x=a，x=b處連續；
因為g'(a)=f'(a)-η<0,所以一定存在x>a,使得g(x)即x=a不是函式g(x)在[a,b]上的最小值，同理x=b也不是函式g(x)在[a,b]上的最小值；
故g(x)在(a,b)區間內取得最小值；
所以必然存在ξ∈(a,b)，使g'(ξ)=f'(ξ)-η=0（費馬定理）；
5樓：匿名使用者
達布定理的定義：
設函式f(x)在[a,b]區間上可導，雖然導函式未必連續，但是卻具有「介值性」。
簡單說：若f'+(a)>0,f'-(b)<0,則在(a,b)內至少有一點c,使得f'(c)=0.
我們稱這個命題為「達布定理」。這是導函式的一個重要特點。其證明如下：
由於 f'+(a)>0，知 lim[f(x)-f(a)]/(x-a)>0, 根據極限的保號性，在a的右鄰域內f(x)>f(a).
這說明f(a)不是最大值。
同理，f(b)也不是最大值。
f 的最大值只能在(a,b)內部某一點 c 處取得，c 必為極大值點，根據費馬定理，f'(c)=0.
達布定理證明：
做輔助函式
g(x)=f(x)-rx
在[a,b]連續
由閉區間連續函式存在最大最小值
則存在c∈[a,b]有g(c)是最值
由費馬定理
g'(c)=0
即 f'(c)=r
6樓：匿名使用者
樓上的是lagrange中值定理吧。
達布定理證明很煩，書上證了整整一張紙，貌似抄到這裡不大現實。
達布中值定理的達布中值定理
7樓：路戍人
達布中值定理(darboux)的數學表達形式：設y=f(x)在(a,b)區間中可導.又設[a,b]包含於(a,b),且f'(a)意給定的η:
f'(a)<ηg(b)（反過來一樣），又g'(b)>0所以由極限保號性，存在ξ∈（a,b）使g(ξ)a,使得g(x) 若f(x)在[a,b]上可導，且f(a)=f(b)，則f'(x)在(a,b)內 8樓：匿名使用者 這是羅爾中值定理的描述。 而這個題目的f（x）在閉區間[a，b]上完全滿足羅爾中值定理的條件。 根據定理，在f'（x）（a，b）區間內至少有一個零點。 所以a選項是對的。 c、d選項和定理相違背，所以錯誤。 定理只是說f'（x）至少有1個零點，但是不否定f'（x）可能有3個、5個等多於1個零點的情況。所以b選項也是錯的。 9樓：伊源休 可導一定連續 ，連續不一定可導。 10樓：愛被溫柔 兄弟 這題選d 因為不能確定fx是否連續 若在x=0為可去間斷點 則沒有實根 若函式f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)可導，如果在(a,b)內f'(x)>0,則f(x)在[a,b]上單調增加。 11樓：路人化的 您的意思我不太明白就是那個逆命題。我這樣理解：在[a,b]上單增，於是有f'(x)>0 行麼。 顯然有問題，導數存在說明曲線很光滑，我只要在單增區間里加一個角出來導數就不存在了，更別說f'(x) > 0 了 12樓：匿名使用者 不成立！ 舉個例子x^3 這個函式單調遞增，但是在x=0時導數為0而不是大於0 （1）定理：若函式f（x）的圖象在區間[a，b]上連續，且在（a，b）內可導，則至少存在一點ξ∈（a，b）， 13樓：小冷 證明：①f（x）=lnx，f′（ξ）=1 ξ，x＜ξ＜y …（1分）（注1：只要構造出函式f（x）=lnx即給1分）故lny-lnx=y-x ξ ，又y-x y ＜y-x ξ ＜y-x x …（*） …（2分） 即1-y x ＜lny-lnx＜y x -1（0＜x＜y） …（3分） ②證明：由（*）式可得2-1 2 ＜ln2-ln1＜2-1 1 ，3-2 2 ＜ln3-ln2＜3-2 2 ，…n-(n-1) n ＜lnn-ln（n-1）＜n-(n-1) n-1，…（6分） 上述不等式相加，得n k-21 k ＜lnn＜n-1 k-11 k （n＞1）…（8分） （注：能給出疊加式中的任何一個即給（1分），能給出一般式n-(n-1) n ＜lnn-ln（n-1）＜n-(n-1) n-1，給出2分） （2）下證當n≥3時，等式f（x）-f（y）=f′（x+y 2）（x-y）不恆成立． （注：能猜出n≥3時等式不恆成立即給1分）當n=1時，f（x）-f（y）=f′（x+y 2）（x-y）顯然成立．…（9分） 當n=2時，f（x）-f（y）=x2 -y2 =2（x+y 2）（x-y）=f′（x+y 2 ）（x-y）．…（10分） 下證當n≥3時，等式f（x）-f（y）=f′（x+y 2）（x-y）不恆成立． 不妨設x=2，y=0，則已知條件化為：2n-1 =n． …（11分） 當n≥3時，2n-1 =（1+1）n-1 =c0n-1 +c1n-1 +…+c n-1n-1 ≥2+c 1n-1 =n+1＞n，…（13分） 因此，n≥3時方程2n-1 =n無解． 故n的所有可能值為1和2．…（14分） 下面是一段「三段論」推理過程：若函式f（x）在（a，b）內可導且單調遞增，則在（a，b）內，f′（x）＞0 14樓：手機使用者 ∵對於可導函式f（x），f（x）在區間（a，b）上是增函式，f′（x）＞0對x∈（a，b）恆成立，應該是f′（x）≥0對x∈（a，b）恆成立， ∴大前提錯誤， 故選：a． bai如何具體證明其在dux x0處也zhi連續。題目說法有誤dao。如果f x 在x x0處可導則連續，那麼x x0處的左右導數都存在必然相等。函式f x 在x x0處可導則連續，但若f x 在x x0處左右導數都存在但不相等，如何具體證明其在x x0處也連續。設右導數f x0 lim h bai... c,如y x處處可導,但是 x 在x 0處連續不可導 f x x 在x 0處為什麼不可導 5 x 0時,f x x 則其導 數為1x 0時,f x x,則其導數為 1其導數是不連續的,所以,在x 0時,不可導,因為影象不連續有折點。常用導數公式 1 y c c為常數 y 0 2 y x n y nx... c.連續但未必可導.如f x x,f x x x,不可導 函式f x 在點x0處可導,則 f x 在點x0處 c.連續但未必可導.如f x x,f x x x,不可導 c,x和絕對值x就可以說明 c。例如函式f x x x0,在x0處f x 可導,而 f x 不可導。望採納。如果函式f x 在點x0...函式f x 在x x0處可導則連續，但若f x 在x x0處左右導數都存在但不相等，如何具體證明其
若fx在處可導,則fx在xx0處
若函式fx在點X0處可導,則fx在點X0處A