1樓：
公式：1²+2²+3²+....+n²=n（n+1）(2n+1)/6證明：
給個算術的差量法求解：
我們知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1，可以得到下列等式：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 13^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 14^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
化簡整理得到：
sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6
2樓：匿名使用者
由1²+2²+3²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6
∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1
。。。。。。
a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式兩邊相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+。。。+n²）+3（1+2+3+。。。+n）+（1+1+1+。。。+1）
3（1²+2²+3²+。。。+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+。。。+n）-（1+1+1+。。。+1）
3（1²+2²+3²+。。。+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+。。。+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6.
3樓：匿名使用者
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(n+2)/6,
可用n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1,累加得到。
1的平方加2的平方一直加到n的平方等於多少
4樓：千山鳥飛絕
1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。
證明過程：
根據立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，則有：
a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1.·
·a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式兩邊相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)
所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6。
5樓：丙英萊念雙
n(n+1)(2n+1)/6
方法有很多種，這裡就介紹一個我覺得很好玩的做法想像一個有圓圈構成的正三角形，
第一行1個圈，圈內的數字為1
第二行2個圈，圈內的數字都為2，
以此類推
第n行n個圈，圈內的數字都為n，
我們要求的平方和，就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和。設這個數為r
下面將這個三角形順時針旋轉60度，得到第二個三角形再將第二個三角形順時針旋轉60度，得到第三個三角形然後，將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加，我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1而總共有幾個圈呢，這是一個簡單的等差數列求和1+2+……+n=n(n+1)/2
於是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)r=n(n+1)(2n+1)/6
6樓：匿名使用者
1²+2²+3²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6
證明如下：
（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1時：2³-1³=3×
1²+3×1+1
a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1
.a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式兩邊相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6.
7樓：水和正瀧實
平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(注：n^2=n的平方)
證明1＋4＋9＋…＋n^2＝n(n+1)(2n+1)/6證法一（歸納猜想法）：
1、n＝1時，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝12、n＝2時，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝53、設n＝x時，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
則當n＝x＋1時，
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6綜上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得證
8樓：心動
^1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。
1^2+2^2+3^2+..+n^2=利用立方差公式n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
拓展資料：
推導公式 n－﹙n－1﹚＝3n－3n＋1，﹙n－1﹚－﹙n－2﹚＝3﹙n－1﹚－3﹙n－1﹚＋1 寫出1到n－1的式子，將這n－1個式子疊加得 n－1＝3[n＋﹙n－1﹚＋……＋2﹚]－3[n＋﹙n－1﹚＋……＋2]＋n－1 由此不難得出1＋2＋……﹙n－1﹚＝﹙n－1﹚n﹙2n－1﹚／6。
9樓：莫小雨威秉
^^利用恆等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1...3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+12^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把這n個等式兩端分別相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理後得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
10樓：明凱無敵瞎
我來一個不同的：sn=1²+2²+3²+……+n²sn是一個
遞增函式，對sn求導=2·1+2·2+.....+2·n=n（n-1），是一個二次函式型，所以大膽猜測sn是一個三次函式型，於是假設sn=an³+bn²+cn+d，把s1=1，s2=5，s3=14，s4=30代入sn得出四個方程式，求出sn=1/3n³+1/2n²+1/6n，把s5代入驗證是正確的！但畢竟是猜的，所以要證明，證明方法如下：
當n=1時此等式成立，n=2時也成立。
假設當n=k時（n>1）也成立，即
sk=1/3k³+1/2k²+1/6k，只需證明n=k+1時也成立即可，又sk+1-sk=（k+1）²，是成立的所以原等式成立。
11樓：福波蔡幼萱
由1²+2²+3²+.+n²=n（
n+1)（2n+1）/6
∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1時：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2時：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3時：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4時：5³-4³=3×4²+3×4+1
.a=n時：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式兩邊相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6.
12樓：郭一甲
西遊記中的數學---1的平方加到n的平方
13樓：疏罡緒暖夢
等於六分之n(n+1)(2n+1)
1的立方加2的立方加3的立方一直加到n的立方如何求
前n個自然數的立方和公式 n n 1 2 的平方 給你個公式吧,1 4乘的n平方再乘 n 1 的平方 要求加到五十 可算得1625625 公式可用二項式定理證明 n 2 n 1 2 4 n 50 答案是1625625 1 2 3 n 2 n 2 n 1 2 4 數列求和1的立方 2的立方 3的立方 ...
的平方加上2 3的平方加上3 4的平方一直加到
這道題可以運 來用錯位源相減法，bai an n n 1 2 n n 1 n 2 n n 1 1 4 n n 1 n 2 n 3 n 1 n n 1 n 2 1 3 n n 1 n 2 n 1 n n 1 sn a1 a2 an 1 4 n n 1 n 2 n 3 1 3 n n 1 n 2 1 1...
1 2 3 一直加到n怎麼算，從1 2 3一直加到100結果是多少？計算公式是什麼？
如果你說的是數學問題 那麼就有一個公式 前n項和等於 n 1 n 2 如果你說的程式設計問題 你可以使用個for迴圈 public class test system.out.println sum 輸出來的結果sum 就是你想要的前n項的和你去試試 這是vb語言 option explicit d...