1樓：匿名使用者
二階常係數齊次線性微分方程解法：
特徵根法是解常係數齊次線性微分方程的一種通用方法。
設特徵方程r*r+p*r+q=0兩根為r1，r2。
1 若實根r1不等於r2
y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
2 若實根r1=r2
y=(c1+c2x)*e^(r1x)
3 若有一對共軛復根（略）
2樓：匿名使用者
關於一階微分方程：
齊次方程使用分離變數法，把x,y挪到各自一邊，各自求積分變數代換法（令u=y/x)
非齊次方程，使用公式法，y=e^(-∫p(x)dx)(c+e^(-∫p(x)q(x)dx)
還有一些特殊的，比如伯努利方程
二階齊次方程，代換法
令y'=p,則y''=pdp/dy
層層積分法，
二階非齊次，使用公式法
形如y''+qy'+py=q(x)
先求齊次方程通解，
先求特徵根:r^2+qr+p=0
則齊次方程通解為：
c1e^(r1x)+c2e^(r2x) 有兩不等實根(c1+c2x)1e^(r1x) 有兩等實根e^(r1x)（c1cosr2x+c2sinr2x) 有虛根r1+ir2
再求特解
如果特徵根與q(x)指數有一個相等，則可設特解為xq(x)如果特徵根與q(x)指數有2個相等，則可設特解為x^2q(x)如果特徵根與q(x)指數有沒個相等，則可設特解為q(x)通解=特解+齊次方程解
3樓：仇秋英崇乙
解微分方程y'-3xy=2x
解：這是一個典型的一階線性微分方程。其基本解法(程式化解法)如下：
先求一階線性齊次方程y'-3xy=0的通解：
dy/dx=3xy；分離變數得dy/y=3xdx；積分之，得lny=(3/2)x²+lnc₁；即得y=c₁e^[(3/2)x²；
將c₁換成x的函式u，即y=ue^[(3/2)x²].............(1)
將(1)的兩邊對x取導數得：dy/dx=y'=(du/dx)e^[(3/2)x²]+3xue^[(3/2)x²]........(2)
將(1)和(2)代入原方程得：
(du/dx)e^[(3/2)x²]+3xue^[(3/2)x²]-3xue^[(3/2)x²]=2x
故得(du/dx)e^[(3/2)x²]=2x；分離變數得du=2xe^[-(3/2)x²]dx；
積分之得u=∫2xe^[-(3/2)x²]dx=(-2/3)∫de^[-(3/2)x²]=-(2/3)e^[-(3/2)x²]+c
代入(1)式即得通解y=e^[(3/2)x²]=-2/3+ce^[(3/2)x²]
【此解法謂之「引數變異法」或「常數變異法」】
微分方程的通解怎麼求
4樓：匿名使用者
微分方程的解通常是一個函式表示式y=f(x),（含一個或多個待定常數，由初始條件確定）。
例如：其解為：
其中c是待定常數；
如果知道
則可推出c=1，而可知 y=-\cos x+1。
一階線性常微分方程
對於一階線性常微分方程，常用的方法是常數變易法：
對於方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：
然後將這個通解代回到原式中，即可求出c(x)的值。
二階常係數齊次常微分方程
對於二階常係數齊次常微分方程，常用方法是求出其特徵方程的解
對於方程：
可知其通解：
其特徵方程：
根據其特徵方程，判斷根的分佈情況，然後得到方程的通解
一般的通解形式為：若則有
若則有在共軛複數根的情況下：
r=α±βi
擴充套件資料
一階微分方程的普遍形式
一般形式：f（x,y,y'）=0
標準形式：y'=f(x,y)
主要的一階微分方程的具體形式
約束條件
微分方程的約束條件是指其解需符合的條件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的約束條件。
常微分方程常見的約束條件是函式在特定點的值，若是高階的微分方程，會加上其各階導數的值，有這類約束條件的常微分方程稱為初值問題。
若是二階的常微分方程，也可能會指定函式在二個特定點的值，此時的問題即為邊界值問題。若邊界條件指定二點數值，稱為狄利克雷邊界條件（第一類邊值條件），此外也有指定二個特定點上導數的邊界條件，稱為諾伊曼邊界條件（第二類邊值條件）等。
偏微分方程常見的問題以邊界值問題為主，不過邊界條件則是指定一特定超曲面的值或導數需符定特定條件。
唯一性存在性是指給定一微分方程及約束條件，判斷其解是否存在。唯一性是指在上述條件下，是否只存在一個解。
針對常微分方程的初值問題，皮亞諾存在性定理可判別解的存在性，柯西-利普希茨定理 [4] 則可以判別解的存在性及唯一性。
針對偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判別解的存在性及唯一性。 皮亞諾存在性定理可以判斷常微分方程初值問題的解是否存在。
5樓：兔斯基
非齊次的特解帶入非齊次方程中，如下詳解望採納
6樓：惜君者
^先求對應的齊次方程dy/dx=2y/(x+1)的通解dy/y=2dx/(x+1)
ln|y|=2ln|x+1|+ln|c|
y=c (x+1)²
由常數變易法，令y=c(x)(x+1)²
則dy/dx=c'(x)(x+1)²+2c(x)(x+1)代入原方程得
c'(x)(x+1)²=(x+1)^(5/2)c'(x)=(x+1)^(1/2)
c(x)=2/3 (x+1)^(3/2)+c故原方程的通解為y=2/3 (x+1)^(7/2) +c(x+1)²
微分方程的通解怎麼求？
7樓：汗海亦泣勤
^已知微分方程的通解怎麼求這個微分方程
答：求導！如：
1。x^2-xy+y^2=c等式兩邊對x求導：2x-y-x(dy/dx)+2y(dy/dx)=0故dy/dx=(2x-y)/(x-2y)；或寫成2x-y-(x-2y)y′=0
若要求二階微分方程則需再求導一次：
2-y′-(1-2y′)y′+(x-2y)y〃=02。e^(-ay)=c1x+c2
-ay′e^(-ay)=c₁(一階微分方程）-ay〃e^(-ay)-ay′(-ay′)e^(-ay)=0，即a²(y′)²-ay〃=0(二階微分方程）
8樓：秦桑
此題解法如下：
∵ (1+y)dx-(1-x)dy=0
==>dx-dy+(ydx+xdy)=0
==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0==>x-y+xy=c (c是常數)
∴ 此方程的通解是x-y+xy=c。
9樓：逯暮森香梅
祝：學習棒棒噠！^.^
10樓：匿名使用者
[高數]變限積分求導易錯點
11樓：匿名使用者
解：∵(1+y)dx-(1-x)dy=0
==>dx-dy+(ydx+xdy)=0
==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0==>x-y+xy=c (c是常數)
∴此方程的通解是x-y+xy=c。
12樓：糜穆嶽葉舞
題目是不是弄錯了啊，是y''+2y'-3y=0吧如果是y"+2y'-3y=o過程如下：
解：該微分方程的特徵方程為r∧2+2r-3=0解得r1=-3,r2=1
∴微分方程的通解為y=c1e∧-3x+c2e∧x
二階線性齊次微分方程通解求法 5
13樓：墨汁諾
一、解：
求特徵方程r^2+p(x)r+q(x)=0，解出兩個特徵根r1,r2 若r1≠r2且r1,r2為實數，
則y=c1*e^(r1*x)+c2*e^(r2*x) 若r1=r2且r1,r2。
二、r是微分方程的特徵值，它是通過方程r^2-2r+5=0來求出的。
將其看成一元二次方程，判別式=4-20=-16<0,說明方程沒有實數根，但在複數範圍內有根，根為： r1=1+2i r2=1-2i；
在複數領域中，z1=a+bi 和z2=a-bi, 及兩個複數的實數部分相等，虛數部分互為相反數的複數稱為共軛複數；所以本題的兩個特徵值符合這一關係，故謂共軛復根。
擴充套件資料：
對於二階線性遞推數列，可採用特徵方程法：
對於數列
，遞推公式為
其特徵方程為
1、 若方程有兩相異根p、q ，則
2、 若方程有兩等根p ，則
14樓：情感迷茫者的解讀人
以下方法，可以參考一下
1.解: 求特徵方程r^2+p(x)r+q(x)=0,解出兩個特徵根r1,r2 若r1≠r2且r1,r2為實數, 則y=c1*e^(r1*x)+c2*e^(r2*x) 若r1=r2且r1,r2。
2.r是微分方程的特徵值,它是通過方程r^2-2r+5=0來求出的。 將其看成一元二次方程,判別式=4-20=-16<0,說明方程沒有實數根,但在複數範圍內有根,根為:
r1=1+2i r2=1-2i
只是希望能有所幫助
15樓：匿名使用者
你可以按照這個去做就可以了。如果你想具體的瞭解這些是怎麼來的，你可能要去看書本上的知識。
高階微分方程求通解，如何求高階微分方程的通解
令u y 則u y u u 3 u du u 1 u 2 dx 1 u u 1 u 2 du dxln u 1 2 ln 1 u 2 x cln u 1 u 2 x c u 1 u 2 c e x u 2 1 u 2 c 2 e 2x 1 u 2 c 2 e 2x 1u 2 c 2 e 2x 1 c...
求微分方程通解，求詳細過程，求解微分方程通解的詳細過程
首先,把原式化簡一下,等式兩邊先同時除以dx,再同時除以x,就可以得到 y x 1 y x dy dx 0的等式 0 設u y x 1 推出dy dx xdu dx u 2 將 1 2 同時帶入 0 式 u 1 u xdu dx u 0 化簡以後可以得到 x 1 u du dx u 2 2u 繼續化...
求微分方程通解，要詳細步驟，求微分方程的通解，要詳細步驟謝謝
1 特徵方程為r 5r 6 0,即 r 2 r 3 0,得r 2,3 設特解y a,代入方程得 6a 7,得a 7 6 故通解y c1e 2x c2e 3x 7 6 2 特徵方程為2r r 1 0,即 2r 1 r 1 0,得r 1 2,1 設特解y ae x,代入方程得 2a a a 2,得a 1...