1樓:zzllrr小樂
就是矩陣每一列,構成的向量,是方程組的解向量
即每一列,各行的值,對應n個變數的解。
齊次線性方程組與非齊次線性方程組解向量性質的區別與聯絡
2樓:匿名使用者
區別以下舉例說明:
1、非齊次線
性方程組,等號右邊不全為零的線性方程組,如:
x+y+z=1
2x+y+z=3
x+2y+2z=4
2、齊次線性方程組,等號右邊全為零的線性方程組,如:
x+y+z=0
2x+y+z=0
x+2y+2z=0
一個多項式中各個單項式的次數都相同的式子,我們稱之為齊次式。正如上面例題中的,xyz的次數都是1,所以就是齊次式。
聯絡:方程解加上非齊次方程的一個特解就是對應非齊次方程的解。
齊次線性方程組有無零解和非齊次線性方程組是否有解的判定。
對於齊次線性方程組,當方程組的方程個數和未知量的個數不等時,可以按照係數矩陣的秩和未知量個數的大小關係來判定;
還可以利用係數矩陣的列向量組是否相關來判定;當方程組的方程個數和未知量個數相同時,可以利用係數行列式與零的大小關係來判定,還可以利用係數矩陣有無零特徵值來判定;
對於非齊次線性方程組,可以利用係數矩陣的秩和增廣矩陣的秩是否相等即有關矛盾方程來判定;
還可以從一個向量可否由一向量組線性表出來判定;當方程個數和未知量個數相等時,可以利用係數行列式是否為零來判定非齊次線性方程組的唯一解情況;今年的考題就體現了這種思想。
2、齊次線性方程組的非零解的結構和非齊次線性方程組解的的無窮多解的結構問題。
如果齊次線性方程組有無窮多個非零解時,其通解是由其基礎解系來表示的;
如果非齊次線性方程組有無窮多解時,其通解是由對應的齊次線性方程組和通解加本身一個特解所構成。
3樓:匿名使用者
線性方程組解空間的問題
線性方程組分為齊次線性方程和非齊次方程組。一般n元線性方程組的形式是
寫成矩陣形式就是ax=b,其中a是係數矩陣(m×n),x與b都是1×m列向量
當b=0時,稱為齊次線性方程。
方程的解存性可以看做是用a的列向量能否表示出列向量b的問題,所以當b=0時,至少有一組解即x=0,稱之平凡解;而當a列向量線性無關時,僅有零解;線性相關時就有無陣列解,但是解空間(向量生成的空間)的維數就等於x維數與a的秩的差(n-r,r為a的秩);解空間的基稱為方程組的基礎解系。
當b≠0時,稱為非齊次線性方程(b=0的齊次方程組稱為與之對應的齊次線性方程組)。與齊次方程組不同,它可能沒有解,有解當且僅當a的秩等於ab合併組成的增廣矩陣的秩,說直白就是a的列向量可以表示出b,或者a的列向量組與增廣矩陣的列向量組等價。而且有解時,解向量組的秩也等於x的維數與a的秩的差。
齊次方程組的解與非齊次方程組的解關係是:非齊次組的解向量等於齊次組的解+非齊次組的一個特解;也就是說只要求出齊次組的解空間的一組基礎解系,比如是α1,α2,......,αs,一個非齊次組的特解比如是x1,,那麼非齊次組所有解可以表示為:x=x1+c1α1+c2α2+......+csα,c1,......,cs為任意常數。
所以求非齊次組的通解只需求出其一個特解,再求出對應的齊次組的基礎解系即可。
區別是:齊次組的解可以形成線性空間(不空,至少有0向量,關於線性運算封閉);非齊次組的解不能形成線性空間,因為其解向量關於線性運算不封閉:任何齊次組的解得線性組合還是齊次組的解,但是非齊次組的任意兩個解其組合一般不再是方程組的解(除非係數之和為1)而任意兩個非齊次組的解的差變為對應的齊次組的解。
注意到這一點,就知道,齊次組有基礎解系,而非齊次只有通解,不能稱為基礎解系,因這些解不能生成解空間(線性運算不封閉)。
4樓:數學好玩啊
區別:齊次方程的解向量是n-r個線性無關的向量
非齊次方程的解向量是n-r+1個線性無關的向量,由非齊次特解x0和齊次方程的基礎解系構成。
聯絡:任意兩個非齊次特解之差總是齊次方程的解
為什麼a的秩等於1? 答案是d,a是個行矩陣,那解怎麼是兩個列向量?
5樓:匿名使用者
根據題目,齊次線性方程組ax=0有兩組線性無關解,相當於有兩個基解. 根據齊次線性方程組版有權非零解的充要條件:係數行列式為零;可以得到a的秩小於3,只能是2或1;而它有兩組線性無關解,由基礎解系中線性無關解的個數與矩陣秩的關係:
n向量=n-r(a); 得到r=3-2=1,因此a的秩只能為1.
(注:a肯定不是零矩陣,否則沒解的不要,r(a)>=1)
關於解為什麼是列向量的問題:主要是ax=0中,x就是列向量,對應的解必然要表示成列向量,分別表示x1,x2,x3;如果x是行向量,那麼解自然也表示成行向量,它們是對應的.
6樓:匿名使用者
α抄1和α2線性無關,因此襲方程組相當於有兩個基向量a1x1+a2x2+a3x3=0
0=00=0
這種情況顯然秩為1;
代入之後abc均不為0,所以必然是d.
還有個定理:若ab=o,則r(a)+r(b)≤n,由於r(α1,α2)=2,則r(a)=1.
請採納,謝謝!
線性方程組解有那幾種 分別是什麼情況的然後齊次的
7樓:
係數矩陣:方程組左邊各方程的係數作為矩陣就是此方程的係數矩陣。
增廣矩陣:將非齊次方程右邊作為列向量加在係數矩陣後就是增廣矩陣。
其次方程有非零解的條件是係數矩陣的秩小於n,就是說未知數的個數大於方程的個數。
非齊次方程:係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩時有解。若此秩也等於n即未知數的個數時,有唯一解。
8樓:犁煊鮑佩玉
齊次線性方程組至少是有零解的,
在方程組的係數矩陣是滿秩的時候,沒有基礎解系,只有零解
矩陣的秩等於它的列向量組的秩，也等於它的行向量組的秩這句話
這裡是三種概念，但是他們的值是相同的。如果感到很難理解，不妨使用空間維度來思考。一個矩陣的所有列向量，代表了所需要的維度 一個矩陣的所有行向量，代表了所能提供的維度。這裡會有三種情況 1.所提供的維度小於所需要的維度，那麼有幾個列向量是不能表示出來的 造成了行秩等於列秩，也就是等於列秩本可以達到所需...
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