1樓：demon陌
具體回答如圖：
重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。
計算二重積分：∫∫（d）ln(1+x^2+y^2)dxdy,其中d是由圓周x^2+y^2=1及座標軸所圍的在第一象限內的閉區域
2樓：匿名使用者
極座標自
∫∫（d）ln(1+x²+y²)dxdy
=∫∫（d）rln(1+r²)drdθ
=∫[0→2π]dθ∫[0→1] rln(1+r²)dr
=2π∫[0→1] rln(1+r²)dr
=π∫[0→1] ln(1+r²)d(r²)
=πr²ln(1+r²)-2π∫[0→1] r³/(1+r²)dr
=πr²ln(1+r²)-2π∫[0→1] (r³+r-r)/(1+r²)dr
=πr²ln(1+r²)-2π∫[0→1] rdr+2π∫[0→1] r/(1+r²)dr
=πr²ln(1+r²)-πr²+π∫[0→1] 1/(1+r²)d(r²)
=πr²ln(1+r²)-πr²+πln(1+r²) |[0→1]
=πln2-π+πln2
=π(2ln2-1)
做錯了，當作整圓做的了。 結果再除以4
3樓：匿名使用者
∫∫zhi_d ln(1 + x² + y²) dxdy= ∫dao(0→
π版/2) dθ ∫(0→1) ln(1 + r²) ·權 rdr
= [ln(2) - 1/2] · π/2= (π/4)(2ln(2) - 1)
二重積分：∫∫√(r^2-x^2-y^2)dxdy, 其中d是由圓周x^2+y^2=rx所圍成的閉區域
4樓：匿名使用者
用極座標來做
，令x=rcosθ，y=rsinθ
則∫∫√(r^2-x^2-y^2)dxdy=∫∫ r *√(r^2-r^2) drdθ，
由積分割槽域d：x^2+y^2=rx可以知道，
r^2<= r*rcosθ，即 r<=rcosθ，
而畫出d的圖形可以知道θ的範圍是[0，π]
所以∫∫ r *√(r^2-r^2) drdθ
=∫∫ 0.5√(r^2-r^2) d(r^2)dθ
化成二次積分，
原積分=∫ [0，π]dθ ∫ [rcosθ，0] 0.5√(r^2-r^2) d(r^2)
顯然 ∫0.5√(r^2-r^2) d(r^2)= -1/3 * (r^2-r^2)^(3/2) +c(c為常數)，
代入上下限，
即 ∫ [rcosθ，0] 0.5√(r^2-r^2) d(r^2)
=1/3 * [r^3-(rsinθ)^3]
再對θ積分，
原積分=∫ [0，π] 1/3 * [r^3-(rsinθ)^3]dθ
=r^3/3 ∫ [0，π] [1-(sinθ)^3]dθ
而∫ [1-(sinθ)^3]dθ=θ- ∫(sinθ)^3dθ
=θ+∫(sinθ)^2dcosθ
=θ+∫[1-(cosθ)^2]dcosθ
=θ+cosθ-(cosθ)^3 /3 +c(c為常數)
代入上下限，
即 ∫ [0，π] [1-(sinθ)^3]dθ=[π+cosπ-(cosπ)^3 /3] -[0+cos0-(cos0)^3 /3]=π-4/3
於是原積分=r^3/3 ∫ [0，π] [1-(sinθ)^3]dθ
=r^3/3*(π-4/3)
計算二重積分xy^2dxdy，其中d是由圓周x^2+y^2=4及y軸所圍成的右半閉區間。求解過程
5樓：匿名使用者
^解：∫∫xy²dxdy=∫<-π/2,π/2>dθ∫<0,2>(rcosθ)*(rsinθ)²*rdr (應用極座標變換)
=∫<-π/2,π/2>(cosθsin²θ)dθ∫<0,2>r^4dr
=∫<-π/2,π/2>sin²θd(sinθ)∫<0,2>r^4dr
=[(sin³θ/3)│<-π/2,π/2>]*[(r^5/5)│<0,2>]
=(1/3+1/3)*(2^5/5)
=64/15
二重積分：∫∫√(r^2-x^2-y^2)dxdy, 其中d是由圓周x^2+y^2=rx所圍成的閉
6樓：匿名使用者
x² + y² = rx ==> (x - r/2)² + y² = (r/2)² ==> r = rcosθ
這是在y軸右邊，與y軸相切的圓形
所以角度範圍是有- π/2到π/2
又由於被積函式關於x軸對稱
由對稱性，所以∫∫d = 2∫∫d(上半部分)，即角度範圍由0到π/2
∫∫ √(r² - x² - y²) dxdy
= ∫∫ √(r² - r²) * r drdθ
= 2∫(0，π/2) dθ ∫(0，rcosθ) √(r² - r²) * r dr
= 2∫(0，π/2) dθ * (- 1/2) * (2/3)(r² - r²)^(3/2) |(0，rcosθ)
= (- 2/3)∫(0，π/2) [(r² - r²cos²θ)^(3/2) - r³] dθ
= (- 2/3)∫(0，π/2) r³(sin³θ - 1) dθ
= (- 2/3)r³ * (2!!/3!! - π/2)，這裡用了wallis公式
= (- 2/3)r³ * (2/3 - π/2)
= (1/3)(π - 4/3)r³
計算二重積分∫∫ddxdy/√(4-x^2-y^2),其中d是由圓周x^2+y^2=2x圍城的閉區域。 10
7樓：匿名使用者
解：原式=∫
<-π/2,π/2>dθ
∫<0,2cosθ>√(4-r²)rdr (作極座標變換)=∫<-π/2,π/2>[(8/3)(1-sin³θ)]dθ=(8/3)∫<-π/2,π/2>[1-sinθ(1-cos²θ)]dθ
=(8/3)[θ+cosθ-cos³θ/3]│<-π/2,π/2>=(8/3)[π/2-(-π/2)]
=8π/3。
計算∫∫√（x²+y²）dxdy，其中d是由圓周x²+y²=1圍成的封閉區域
8樓：angela韓雪倩
使用極座標來解：
令x=r *cosa，y=r *sina
d為x²+y²=2x與x軸圍成
即r² < 2r *cosa，得到0而a的範圍是 -π/2到π/2
所以原積分=∫∫ r *r dr da
=∫ 1/3 *(2cosa)^3 da
=∫ 8/3 *(cosa)^2 d(sina)
=∫ 8/3 -8/3 *(sina)^2 d(sina)
= 8/3(sina) -8/9 *(sina)^3 代入sina的上下限1和 -1
=16/3 -16/9 =32/9
擴充套件資料：
二重積分和定積分一樣不是函式，而是一個數值。因此若一個連續函式f（x，y）內含有二重積分，對它進行二次積分，這個二重積分的具體數值便可以求解出來。
其中二重積分是一個常數，不妨設它為a。對等式兩端對d這個積分割槽域作二重定積分。
故這個函式的具體表示式為：f（x，y）=xy+1/8，等式的右邊就是二重積分數值為a，而等式最左邊根據性質5，可化為常數a乘上積分割槽域的面積1/3，將含有二重積分的等式可化為未知數a來求解。
在直角座標系xoy中，取原點為極座標的極點，取正x軸為極軸，則點p的直角座標系（x，y）與極座標軸（r，θ）之間有關係式：
在極座標系下計算二重積分，需將被積函式f（x，y），積分割槽域d以及面積元素dσ都用極座標表示。函式f（x，y）的極座標形式為f（rcosθ，rsinθ）。
為得到極座標下的面積元素dσ的轉換，用座標曲線網去分割d，即用以r=a，即o為圓心r為半徑的圓和以θ=b，o為起點的射線去無窮分割d，設δσ就是r到r+dr和從θ到θ+dθ的小區域。
9樓：
用極座標法，dxdy=ds=rdθdr，r²=x²+y²，θ=0~2π，r=0~1.
ds選用r至r+dr之間的圓環，更加簡單：
ds=2πrdr
=∫（0,1）r.2πrdr=2π∫（0,1）r²dr=（2π/3）r³|（0,1）=2π/3
10樓：暮雪
用極座標的方法做，令x=rcosa，y=rsina
原式=二重積分下r^2drda a範圍（0,2π） r範圍（0，1）
然後就按二重積分一般解法解
計算二重積分Dx2 y2dxdy，其中積分割槽域D是由直線x 1，y 0及曲線y 2 x2在第一象限內圍成的區域
積分割槽域如下圖 因為 y2 xy 是關於x的一次函式，從而，為計算簡單起見，將積分轉化為 先x後y 的累次積分 所以，i dy xydxdy 10 dy y0 y?xy dx 23 101y y?xy 32 ydy 23 10ydy 29 計算二重積分 y 2dxdy,其中d是由圓周x 2 y 2...
計算二重積分xy 2dxdy，其中D是由圓周x 2 y 2 4及y軸所圍成的右半閉區間。求解過程
解 xy dxdy 2,2 d 0,2 rcos rsin rdr 應用極座標變換 2,2 cos sin d 0,2 r 4dr 2,2 sin d sin 0,2 r 4dr sin 3 2,2 r 5 5 0,2 1 3 1 3 2 5 5 64 15 計算二重積分xydxdy其中d是由x y...
計算二重積分D）ydxdy,其中D x 2 y
變成極 bai座標啊 令x pcosa y psina 代入x du2 y 2 2x p 2 2pcosa p 2cosa 由於zhiy 0，所以0 a dao 回 答d ydxdy 0,0,2cosa psina pdpda 0,sina p 3 3 0,2cosa da 8 3 0,sina c...