1樓：神龍00擺尾
直角座標系轉化為極座標系進行二重積分求解，結果為4/3，詳細過程請見**，希望對你有幫助
2樓：匿名使用者
方法一:
x²＋y²≤x＋y
令x=rcosθ，y=rsinθ
則r²≤r(sinθ＋cosθ)
r≤sinθ＋cosθ
i=∫∫ xdxdy
=∫(－π/4，3π/4) dθ ∫(0，sinθ＋cosθ) r²cosθdr
=1/3 ∫(－π/4，3π/4) (sinθ＋cosθ)³cosθdθ
=1/3 ∫(－π/4，3π/4) (sinθcosθ＋2sin²θcos²θ＋cos²θ＋2sinθcos³θ)dθ
=1/6 ∫(－π/4，3π/4) sin2θdθ＋1/6 ∫(－π/4，3π/4) sin²2θdθ＋1/3 ∫(－π/4，3π/4) cos²θdθ＋2/3 ∫(－π/4，3π/4) sinθcos³θdθ
=1/12 ∫(－π/4，3π/4) sin2θd(2θ) ＋1/12 ∫(－π/4，3π/4) (1－cos4θ)dθ ＋1/6 ∫(－π/4，3π/4) (1＋cos2θ)dθ －2/3 ∫(－π/4，3π/4) cos³θdcosθ
=[－1/12 cos2θ ＋θ/12 －1/48 sin4θ＋θ/6＋＋1/12 sin2θ －1/6 (cosθ)^4] |(－π/4，3π/4)
=π/16＋π/8－1/12 －1/24＋π/48＋π/24＋1/12＋1/24
=(3π＋6π＋π＋2π)/48
=12π/48
=π/4
方法二:
x²＋y²≤x＋y
(x－1/2)²＋(y－1/2)²≤1/2
令x=1/2＋rcosθ，y=1/2＋rsinθ
則|=∫∫ xdxdy
=∫(0，2π) dθ∫(0，∨2/2) (1/2 ＋rcosθ)rdr
=∫(0，2π) (1/8 ＋∨2/12 cosθ)dθ
=(1/8 θ＋∨2/12 sinθ) |(0，2π)
=1/8 ×2π
=π/4
計算二重積分∫∫(x^2+y^2+x)dxdy,其中d為區域x^2+y^2<=1
3樓：回金蘭表妍
首先計算∫∫xdxdy，由於被積函式是關於x的奇函式，而積分割槽域關於y軸對稱，所以∫∫xdxdy=0，原積分=∫∫(x^2+y^2)dxdy，用極座標計算，=∫dθ∫r^3dr，（r積分限0到1，θ積分限0到2π）=2π/4=π/2
4樓：求墨徹曲環
這是二重積分，要確定積分上下限。
積分割槽域的圖形知道吧？是閉環域。
換成極座標後，角度θ從0積到2∏，r從1積到2。
表示式為∫dθ∫lnr^2
rdr，注意要寫積分上下限。
然後算2個定積分就行了。
5樓：drar_迪麗熱巴
由於被積函式是關於x的奇函式，而積分割槽域關於y軸對稱，所以∫∫xdxdy=0，
原積分=∫∫(x^2+y^2)dxdy，用極座標計算=∫dθ∫r^3dr，（r積分限0到1，θ積分限0到2π）=2π/4=π/2
在空間直角座標系中，二重積分是各部分割槽域上柱體體積的代數和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負。某些特殊的被積函式f（x，y）的所表示的曲面和d底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。
數值意義
二重積分和定積分一樣不是函式，而是一個數值。因此若一個連續函式f（x，y）內含有二重積分，對它進行二次積分，這個二重積分的具體數值便可以求解出來。
計算二重積分i=∫∫(x^2+y^2+3y)dxdy,其中d=((x,y)|x^2+y^2
6樓：匿名使用者
假設a>0，
利用極座標公式
令x=rcost
y=rsint
則d=dxdy=rdrdt
於是原式=∫∫d (r²+3rsint)rdrdt=∫【-π/2,π/2】dt ∫【0,a】(r³+3r²sint)dr
=∫【-π/2,π/2】(0.25a^4+a³ sint) dt=0.25πa^4
不明白可以追問，如果有幫助，請選為滿意回答！
7樓：匿名使用者
解：用代換法
令x=rcosα，y=rsinα，其中r∈[0,a)，α∈[0,2π)，且|j|=r。
原積分i=∫[0,2π]∫[0,a](r^2+3rsinα)rdrdα
=∫[0,2π](a^4/4-a^3*sinα)dα=πa^4/2
計算二重積分i=∫∫(x^2+y^2)d,其中d由y=x^2,y=x所圍成
8樓：愛の優然
曲線y=√x與直線y=x的交點為(0,0)和(1,1)於是積分割槽域d=
從而原式=∫[0,1]siny/ydy∫[y²,y] 1 dx=∫[0,1] sinydy-∫[0,1]ysinydy=1-cos1-[-cos1+sin1]
=1-sin1
計算二重積分i=∫∫|x^2+y^2-1|dxdy,其中d是由圓周x^2+y^2=4所圍成的閉區域
9樓：demon陌
具體回答如圖：
重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心等。平面區域的二重積分可以推廣為在高維空間中的（有向）曲面上進行積分，稱為曲面積分。
計算二重積分∫∫（x+y）dxdy，其中d為x^2+y^2≤2x 30
10樓：匿名使用者
樓上錯的，樓上當作矩形區域算了
首先本題區域關於x軸對稱，y關於y是一個奇函式，因此積分為0，所以被積函式中的y可去掉。
∫∫（x+y）dxdy
=∫∫xdxdy
用極座標，x²+y²=2x的極座標方程為：r=2cosθ
=∫[-π/2---->π/2] dθ∫[0---->2cosθ] rcosθ*rdr
=∫[-π/2---->π/2] cosθdθ∫[0---->2cosθ] r²dr
=∫[-π/2---->π/2] (cosθ)*(1/3)r³ |[0---->2cosθ] dθ
=(8/3)∫[-π/2---->π/2] cos⁴θ dθ
=(16/3)∫[0---->π/2] cos⁴θ dθ
=(16/3)∫[0---->π/2] [1/2(1+cos2θ)]² dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (1+cos2θ)² dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+cos²2θ) dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+1/2(1+cos4θ)) dθ
=(4/3)∫[0---->π/2] (3/2+2cos2θ+1/2cos4θ) dθ
=(4/3)(3/2θ+sin2θ+1/8sin4θ) |[0---->π/2]
=(4/3)(3/2)*(π/2)=π
11樓：永恆約定志
d可化為：（x-1）²+y²≤1，得：0≤x≤1，-1≤y≤11 1 1所以：∫∫（x+y）dxdy=∫ dx ∫(x+y)dy=∫ 2xdx=4
0 -1 0
也可以先對x積分
計算二重積分,∫∫(x+y)dxdy,其中d為x^2+y^2≤x+y,在極座標下
12樓：桂琭穆惜寒
這題的積分割槽域---圓域的圓心為（1/2,1/2),半徑為(√2)/2因為圓心非原點,所以無論用直角座標還是極座標,上下限都不好確定.所以應想到把圓域平移到原點處,即用座標變換.但二重積分的座標變換涉及到雅克比公式,一般來說比較麻煩,而此題只是平移,不涉及旋轉,變形之類得,所以可省去雅克比的過程.
令x=(1/2)+u,y=(1/2)+v,則積分圓域變為以（0,0）為圓心,以(√2)/2為半徑.而原積分=∫∫(1+u+z)dudv因為,變換後的積分割槽域關於u軸和v軸都對稱,且被積函式1+u+z關於u和v分別為奇函式所以,∫∫ududv=∫∫vdudv=0
故∫∫(1+u+z)dudv=∫∫dudv=變換後圓域面積=π/2（但注意,平移的時候能像這樣代入,因為雅克比行列式等於1,其他變換還要乘以雅克比行列式.）
13樓：水瓶永遠的信心
如果很不熟練的話，畫個圖就很容易得到積分限了；但是如果區域複雜，也許很難畫出圖來。所以參考下面無需作圖，直接確定積分限的通用方法：
計算二重積分D e x dxdy,其中D區域表示X 1,Y X,Y 0所圍區域
二重積分，最主要的先是根據積分割槽域確定積分型別，此題可選x型 計算二重積分 e x y dxdy,其中區域d是由x 0,x 1,y 0,y 1所圍成的矩形 e x y dxdy e x y dx dy e x y dx 0 1 e x y 0 1 0 1 0 1 e 1 y e y e 1 e y...
畫出積分割槽域,並計算二重積分,二重積分畫出積分割槽域,並計算該二重積分。
你畫的積分割槽域沒 bai錯,但是並 du不是關於y軸對稱,而是zhi關於daoy 1對稱,在極座標中,實際上就是內關於 容 0對稱,而xy這一部分化為極座標後為 rcos rsin 是關於 的奇函式,積分後為偶函式,在對稱區間的積分為0,所以這一部分積分為0.換句話說,本題中,關於y 1對稱,實際...
求二重積分y，計算二重積分 x y dxdy 0 x 1 0 y
夾雜中間變數的二重積分 一般用變數變換法，求出行列式 j 換變數求積分。由版 x a t sint y a 1 cost 得 權j t sint a acost 1 cost asint at sint 2acost 2a 所以 y d x y 1，求二重積分 dxdy 解 由於被積函式為1，由二重...