1樓：匿名使用者
均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數學中的一個重要公式：公式內容為hn≤gn≤an≤qn，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數。
概念：1、調和平均數：hn=n/(a_1+a_2+⋯+a_n )
2、幾何平均數：gn=n√(a_1 a_2…a_n )
3、算術平均數：an=(a_1+a_2+⋯+a_n)/n
4、平方平均數：qn=√((a_1^2+a_2^2+⋯+a_n^2)/n)
5、均值定理： 如果
屬於 正實數 那麼
且僅當時 等號成立。
這四種平均數滿足hn≤gn≤an≤qn
a1、a2、… 、an∈r +，當且僅當a1=a2= … =an時取「=」號
均值不等式的一般形式：設函式d(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（當r不等於0時）；
（a1a2...an)^(1/n）（當r=0時）（即d(0)=(a1a2...an)^(1/n））
則 [1]當注意到hn≤gn≤an≤qn僅是上述不等式的特殊情形，即d(-1）≤d(0）≤d⑴≤d⑵
由以上簡化，有一個簡單結論，中學常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
均值定理的證明：因為 a 〉0 ， b 〉0 所以 a+b/2 - √ab = a+b-2√ab/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0
即 a+b/2≥√ab. 當且僅當√a= √b ,等號成立。
變形⑴對實數a,b，有a^2+b^2≥2ab （當且僅當a=b時取「=」號），a^2+b^2>0>-2ab
⑵對非負實數a,b，有a+b≥2√（a×b）≥0，即（a+b)/2≥√（a×b）≥0
⑶對負實數a,b，有a+b<-2√（a*b)<0
⑷對實數a,b，有a(a-b）≥b(a-b)
⑸對非負實數a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
⑹對實數a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b）^2≥2ab
⑺對實數a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
⑻對實數a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
⑼對非負數a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
⑽對非負數a,b,c，有（a+b+c)/3≥（abc)^(1/3)
2樓：匿名使用者
(1)對實數a,b，有a^2+b^2≥2ab (當且僅當a=b時取「=」號)，a^2+b^2>0>-2ab(2)對非負實數a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
(3)對負實數a,b，有a+b<0<2√(a*b)(4)對實數a,b，有a(a-b)≥b(a-b)(5)對非負數a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0(6)對非負數a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab
(7)對非負數a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
(8)對非負數a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac(9)對非負數a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^
3樓：歐吼阿撒
不知道耶，可以去知網看看
均值不等式定理有哪些?
4樓：匿名使用者
基本不等
式有兩種：基本不等式和推廣的基本不等式（均值不等式）基本不等式是主要應用於求某些函式的最大（小）值及證明的不等式。其表述為：
兩個正實數的算術平均數大於或等於它們的幾何平均數。（1）基本不等式兩個正實數的算術平均數大於或等於它們的幾何平均數。 （2）推廣的基本不等式（均值不等式） 時不等式兩邊相等。
不等式運用示例 某學校為了美化校園,要建造一個底面為正方形,體積為32的柱形露天噴水池,問怎樣才能使得用來砌噴水池底部和四壁的鑲面材料花費最少? 答：設底面正方形邊長為x，則水池高為32/x^2 y=x^2+4x*32/x^2=x^2+128/x=x^2+64/x+64/x ≥3(1*64*64)^(1/3)=48 所以當x^2=64/x,x=4時花費最少。
上面解法使用了均值不等式 時不等式兩邊相等。
5樓：匿名使用者
^設以下各量都為正，則
1）（a+b）/2>√（ab），（a+b+c）/3>³√（abc），......
2）[(a+b+c+......+l)/n]^r>(a^r+b^r+c^r+......+l^r)/n(r>1)
[(a+b+c+......+l)/n]^r<(a^r+b^r+c^r+......+l^r)/n(r<1)
6樓：席夏菡門逸
1=x+y≥2√(xy)
得xy≤1/4
而xy+1/xy≥2
當且僅當xy=1/xy時取等
也就是xy=1時
畫出xy+1/xy影象得
0減，xy>1時，單調增
而xy≤1/4
∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得證
請問 均值不等式 是什麼？有哪些應用？
7樓：tony羅騰
概念：1、調和平
均數：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、幾何平均數：gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)
3、算術平均數：an=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均數：qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
這四種平均數滿足hn≤gn≤an≤qn
a1、a2、… 、an∈r +，當且僅當a1=a2= … =an時取「=」號
均值不等式的一般形式：設函式d(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(當r不等於0時);
(a1a2...an)^(1/n)(當r=0時）（即d(0)=(a1a2...an)^(1/n)）
則有：當r 注意到hn≤gn≤an≤qn僅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2) 均值不等式有那些形式和推廣 8樓：夏戀心雨 均值不等 式幾個重要不等式(一) 一、平均值不等式 設a1,a2,…, an是n個正實數，則，當且僅當a1=a2=…=an時取等號 1.二維平均值不等式的變形 (1)對實數a,b有a2+b2³2ab (2)對正實數a,b有 (3)對b>0，有， (4)對ab2>0有， (5)對實數a,b有a(a-b)³b(a-b) (6)對a>0,有 (7) 對a>0,有 (8)對實數a，b有a2³2ab-b2 (9) 對實數a，b及l¹0，有 二、例題選講 例1.證明柯西不等式 證明：法 一、若或命題顯然成立，對¹0且¹0，取 代入(9)得有 兩邊平方得 法二、，即二次式不等式恆成立 則判別式 例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,試證明： (1)(2)證明：(1)左= = ³(2)由知 同理：相加得：左³ 例3.求證： 證明：法 一、取，有 a1(a1-b)³b(a1-b), a2(a2-b)³b(a2-b),…, an(an-b)³b(an-b) 相加得(a12+ a22+…+ an2)-( a1+ a2+…+ an)b³b[(a1+ a2+…+ an)-nb]³0 所以 法 二、由柯西不等式得： (a1+ a2+…+ an)2=((a1×1+ a2×1+…+ an×1)2£(a12+ a22+…+ an2)(12+12+…+12) =(a12+ a22+…+ an2)n, 所以原不等式成立 例4.已知a1, a2,…,an是正實數，且a1+ a2+…+ an<1，證明： 證明：設1-(a1+ a2+…+ an)=an+1>0, 則原不等式即nn+1a1a2…an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an) 1-a1=a2+a3+…+an+1³n 1-a2=a1+a3+…+an+1³n ………………………………………… 1-an+1=a1+a1+…+an³n 相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)³nn+1 例5.對於正整數n，求證： 證明：法 一、 > 法二、左= = 例6.已知a1,a2,a3,…,an為正數，且，求證： (1)(2)證明：(1) 相乘左邊³=(n2+1)n 證明(2) 左邊= -n+2( = -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)]( ³ -n+2×n 參考資料 均值不等式是什麼 9樓：月滿西樓 概念：1、調和平均數：hn= 2、幾何平均數： gn=3、算術平均數：an= 4、平方平均數：qn= 5、均值定理： 如果 屬於 正實數 那麼 且僅當時 等號成立. 這四種平均數滿足hn≤gn≤an≤qn a1、a2、… 、an∈r +,當且僅當a1=a2= … =an時取「=」號 均值不等式的一般形式：設函式d(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（當r不等於0時）； （a1a2...an)^(1/n）（當r=0時）（即d(0)=(a1a2...an)^(1/n）） 則 [1]當注意到hn≤gn≤an≤qn僅是上述不等式的特殊情形,即d(-1）≤d(0）≤d⑴≤d⑵ 由以上簡化,有一個簡單結論,中學常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2] 均值定理的證明：因為 a 〉0 , b 〉0 所以（ a+b）/2 - √ab =（ a+b-2√ab）/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0 即（ a+b）/2≥√ab. 當且僅當a= b ,等號成立.[1] 記憶調幾算方,即調和平均數【hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)】≤ 幾何平均數【gn=(a1a2...an)^(1/n) 】≤算術平均數【an=(a1+a2+... +an)/n】 ≤平方平均數：【qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n】 hn≤gn≤an≤qn 均值不等式是什麼啊 10樓：森海和你 均值不等式是數學中的一個重要公式。公式內容為hn≤gn≤an≤qn，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數。 均值不等式部分的公式： a^2+b^2 ≥ 2ab √(ab)≤(a+b)/2 ≤（a^2+b^2）/2a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+ac被稱為均值不等式。·即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數，簡記為「調幾算方」。 其中：，被稱為調和平均數。 ，被稱為幾何平均數。 ，被稱為算術平均數。 ，被稱為平方平均數。 均值不等式的簡介 概念 1 調和平均數 hn n 1 a1 1 a2 1 an 2 幾何平均數 gn a1a2.an 1 n n次 a1 a2 a3 an 3 算術平均數 an a1 a2 an n 4 平方平均數 qn a1 2 a2 2 an 2 n 這四種平均數滿足hn gn an qn a1... 用數學歸納法證bai明du,需要一個輔助結論。zhi引理 設 daoa 0,b 0,則 a 內b n an nan 1b。注 引理的正確容性較明顯,條件a 0,b 0可以弱化為a 0,a b 0,有興趣的同學可以想想如何證明 用數學歸納法 原題等價於 a1 a2 an n n a1a2.an。當n ... 1.當a b c為定值時,三次方根 abc 有最大值為 a b c 3 當且僅當a b c是取等號 2.當abc為定值時,a b c 3 有最小值為三次方根 abc 三次方根 如果一個數的立方等於a，那麼這個數叫做a的立方根或三次方根 cube root 這就是說，如果x3 a,那麼x叫做a的立方根...什麼是均值不等式均值不等式是什麼啊
均值不等式的推廣式證明,均值不等式推廣的證明
三元均值不等式的成立條件是什麼均值不等式的使用條件